Номер 75, страница 287 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Функции. Глава 5. Задачи на повторение - номер 75, страница 287.

Условие.

s, км

I

II

t, ч

Рис. 150

75. На рисунке 150 изображены графики движения двух туристов, которые вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В.

а) В какое время туристы прибыли в пункты А и В?

б) Сколько времени был в пути каждый из них?

в) В какое время каждый турист прибыл к месту остановки?

г) Сколько времени каждый из них отдыхал?

д) С какой скоростью двигался каждый турист до остановки и после нее?

е) Какова средняя скорость движения каждого туриста?

Решение 1.

Решение 5.

Для решения задачи проанализируем предоставленные графики движения. Графики показывают зависимость расстояния $s$ (в км) от времени $t$ (в часах). Примем, что пункт В находится в точке $s=0$, а пункт А — в точке $s=40$ км. Таким образом, турист I (график I) движется из пункта А в В, а турист II (график II) — из пункта В в А.

Горизонтальный участок на графиках означает остановку, так как расстояние не изменяется с течением времени. Из графиков видно, что оба туриста сделали остановку в одно и то же время и в одном и том же месте: они встретились на отметке $s = 20$ км в момент времени $t = 4$ ч и отдыхали вместе до $t = 5$ ч.

а) В какое время туристы прибыли в пункты А и В?

Турист I двигался из пункта А ($s=40$ км) в пункт В ($s=0$ км). Его график (I) достигает оси $s=0$ в момент времени $t=6,5$ ч.

Турист II двигался из пункта В ($s=0$ км) в пункт А ($s=40$ км). Его график (II) достигает отметки $s=40$ км в момент времени $t=7$ ч.

Ответ: Турист I прибыл в пункт В через 6,5 часов после начала движения, а турист II прибыл в пункт А через 7 часов.

б) Сколько времени был в пути каждый из них?

Под временем в пути будем понимать общее время от момента старта до момента прибытия в конечный пункт.

Турист I начал движение в $t=0$ и закончил в $t=6,5$ ч. Его общее время в пути: $6,5 - 0 = 6,5$ часов.

Турист II начал движение в $t=0$ и закончил в $t=7$ ч. Его общее время в пути: $7 - 0 = 7$ часов.

Ответ: Турист I был в пути 6,5 часов, а турист II — 7 часов.

в) В какое время каждый турист прибыл к месту остановки?

Остановка на графике — это горизонтальный участок. Для обоих туристов он начинается в одной и той же временной точке. Судя по графикам, оба туриста прибыли к месту остановки в момент времени $t=4$ часа.

Ответ: Каждый турист прибыл к месту остановки через 4 часа после начала движения.

г) Сколько времени каждый из них отдыхал?

Горизонтальный участок на обоих графиках, соответствующий отдыху, продолжается с $t=4$ ч до $t=5$ ч.

Следовательно, продолжительность отдыха для каждого туриста составляет: $5 \text{ ч} - 4 \text{ ч} = 1$ час.

Ответ: Каждый из туристов отдыхал 1 час.

д) С какой скоростью двигался каждый турист до остановки и после нее?

Скорость ($v$) вычисляется по формуле $v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$, где $\Delta s$ — пройденное расстояние, а $\Delta t$ — затраченное на это время.

Турист I:

До остановки (с $t=0$ до $t=4$ ч): прошел расстояние от $s=40$ км до $s=20$ км. $\Delta s = |20 - 40| = 20$ км. $\Delta t = 4 - 0 = 4$ ч. Скорость: $v_{I, до} = \frac{20 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 5$ км/ч.

После остановки (с $t=5$ до $t=6,5$ ч): прошел расстояние от $s=20$ км до $s=0$ км. $\Delta s = |0 - 20| = 20$ км. $\Delta t = 6,5 - 5 = 1,5$ ч. Скорость: $v_{I, после} = \frac{20 \text{ км}}{1,5 \text{ ч}} = \frac{20}{3/2} = \frac{40}{3} \approx 13,3$ км/ч.

Турист II:

До остановки (с $t=0$ до $t=4$ ч): прошел расстояние от $s=0$ км до $s=20$ км. $\Delta s = |20 - 0| = 20$ км. $\Delta t = 4 - 0 = 4$ ч. Скорость: $v_{II, до} = \frac{20 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 5$ км/ч.

После остановки (с $t=5$ до $t=7$ ч): прошел расстояние от $s=20$ км до $s=40$ км. $\Delta s = |40 - 20| = 20$ км. $\Delta t = 7 - 5 = 2$ ч. Скорость: $v_{II, после} = \frac{20 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 10$ км/ч.

Ответ: Скорость туриста I до остановки была 5 км/ч, а после остановки — $\frac{40}{3}$ км/ч (приблизительно 13,3 км/ч). Скорость туриста II до остановки была 5 км/ч, а после остановки — 10 км/ч.

е) Какова средняя скорость движения каждого туриста?

Средняя скорость движения ($v_{ср}$) — это отношение всего пройденного пути ко времени, затраченному непосредственно на движение (без учета времени остановок). Общий путь для каждого туриста равен 40 км.

Турист I:

Общее время движения: $(4 - 0) + (6,5 - 5) = 4 + 1,5 = 5,5$ ч.

Средняя скорость: $v_{ср, I} = \frac{40 \text{ км}}{5,5 \text{ ч}} = \frac{40}{11/2} = \frac{80}{11} \approx 7,27$ км/ч.

Турист II:

Общее время движения: $(4 - 0) + (7 - 5) = 4 + 2 = 6$ ч.

Средняя скорость: $v_{ср, II} = \frac{40 \text{ км}}{6 \text{ ч}} = \frac{20}{3} \approx 6,67$ км/ч.

Ответ: Средняя скорость движения туриста I составляет $\frac{80}{11}$ км/ч (приблизительно 7,27 км/ч), а туриста II — $\frac{20}{3}$ км/ч (приблизительно 6,67 км/ч).