Номер 51, страница 283 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Тождественные преобразования. Глава 5. Задачи на повторение - номер 51, страница 283.

Условие.

51. а) $\frac{a^{\frac{7}{3}} - 2a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{2}{3}} + ab^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}} - ab^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b} \cdot a^{-\frac{1}{3}};$

б) $\left(\frac{2(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}})}{x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} - x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{2}}} - x - y\right) : \frac{y-x}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}};$

в) $\frac{c-1}{c^{\frac{3}{4}} + c^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{c^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{4}}}{c^{\frac{1}{2}} + 1} \cdot c^{\frac{1}{4}} + 1;$

г) $\frac{3(ab)^{\frac{1}{2}} - 3b}{a-b} + \frac{\left(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}\right)^3 + 2a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Упростим выражение $\frac{a^{\frac{7}{3}} - 2a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{2}{3}} + ab^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}} - ab^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b} \cdot a^{-\frac{1}{3}}$.

Для удобства введем замену: $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = b^{\frac{1}{3}}$. Тогда $a = x^3$ и $b = y^3$.

Преобразуем числитель первой дроби:

$a^{\frac{7}{3}} - 2a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{2}{3}} + ab^{\frac{4}{3}} = (x^3)^{\frac{7}{3}} - 2(x^3)^{\frac{5}{3}}(y^3)^{\frac{2}{3}} + (x^3)(y^3)^{\frac{4}{3}} = x^7 - 2x^5y^2 + x^3y^4$

Вынесем общий множитель $x^3$:

$x^3(x^4 - 2x^2y^2 + y^4) = x^3(x^2 - y^2)^2 = x^3((x-y)(x+y))^2 = x^3(x-y)^2(x+y)^2$.

Преобразуем знаменатель первой дроби:

$a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}} - ab^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b = (x^3)^{\frac{5}{3}} - (x^3)^{\frac{4}{3}}(y^3)^{\frac{1}{3}} - (x^3)(y^3)^{\frac{2}{3}} + (x^3)^{\frac{2}{3}}(y^3) = x^5 - x^4y - x^3y^2 + x^2y^3$.

Сгруппируем и вынесем общие множители:

$(x^5 - x^4y) - (x^3y^2 - x^2y^3) = x^4(x-y) - x^2y^2(x-y) = (x^4 - x^2y^2)(x-y) = x^2(x^2 - y^2)(x-y) = x^2(x-y)(x+y)(x-y) = x^2(x-y)^2(x+y)$.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$\frac{x^3(x-y)^2(x+y)^2}{x^2(x-y)^2(x+y)} \cdot (x^3)^{-\frac{1}{3}} = \frac{x^3(x-y)^2(x+y)^2}{x^2(x-y)^2(x+y)} \cdot x^{-1}$.

Сокращаем дробь:

$x(x+y) \cdot x^{-1} = (x \cdot x^{-1})(x+y) = 1 \cdot (x+y) = x+y$.

Выполним обратную замену:

$x+y = a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}$.

Ответ: $a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}$.

б)

Упростим выражение $\left( \frac{2(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}})}{x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} - x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{2}}} - x - y \right) : \frac{y-x}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}}$.

Рассмотрим первое слагаемое в скобках. В знаменателе вынесем общий множитель $x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}$:

$x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} - x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}})$.

Тогда вся дробь равна:

$\frac{2(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}})}{x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}})} = \frac{2}{x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}} = 2(xy)^{-\frac{1}{4}}$.

Выражение в скобках принимает вид:

$2(xy)^{-\frac{1}{4}} - x - y$.

Теперь упростим делитель:

$\frac{y-x}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}} = \frac{-(x-y)}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}} = \frac{-(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}} = -(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$.

Выполним деление:

$(2(xy)^{-\frac{1}{4}} - x - y) : (-(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})) = \frac{2(xy)^{-\frac{1}{4}} - x - y}{-(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})} = \frac{x+y-2(xy)^{-\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}$.

Примечание: В условии задачи, вероятно, содержится опечатка, так как выражение не упрощается до стандартного простого вида. Решение приведено для точной записи из условия.

Ответ: $\frac{x+y-2(xy)^{-\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}$.

в)

Упростим выражение $\frac{c-1}{c^{\frac{3}{4}} + c^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{c^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{4}}}{c^{\frac{1}{2}} + 1} \cdot c^{\frac{1}{4}} + 1$.

Введем замену $x = c^{\frac{1}{4}}$. Тогда $c^{\frac{1}{2}} = x^2$, $c^{\frac{3}{4}} = x^3$, $c = x^4$.

Выражение примет вид:

$\frac{x^4-1}{x^3+x^2} \cdot \frac{x^2+x}{x^2+1} \cdot x + 1$.

Упростим произведение дробей. Разложим числители и знаменатели на множители:

$\frac{x^4-1}{x^3+x^2} = \frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^2(x+1)} = \frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x^2(x+1)} = \frac{(x-1)(x^2+1)}{x^2}$.

$\frac{x^2+x}{x^2+1} = \frac{x(x+1)}{x^2+1}$.

Подставим разложенные дроби в произведение:

$\frac{(x-1)(x^2+1)}{x^2} \cdot \frac{x(x+1)}{x^2+1} \cdot x$.

Сократим общие множители $(x^2+1)$, а также $x^2$ в знаменателе с $x \cdot x$ в числителе:

$(x-1)(x+1) = x^2-1$.

Теперь вернемся к исходному выражению:

$(x^2-1) + 1 = x^2$.

Выполним обратную замену:

$x^2 = (c^{\frac{1}{4}})^2 = c^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $c^{\frac{1}{2}}$.

г)

Упростим выражение $\frac{3(ab)^{\frac{1}{2}} - 3b}{a-b} + \frac{(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})^3 + 2a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}$.

Введем замену $x = a^{\frac{1}{2}}$ и $y = b^{\frac{1}{2}}$. Тогда $a=x^2, b=y^2, a^{\frac{3}{2}}=x^3, b^{\frac{3}{2}}=y^3$.

Выражение примет вид:

$\frac{3xy - 3y^2}{x^2-y^2} + \frac{(x-y)^3 + 2x^3 + y^3}{x^3+y^3}$.

Упростим первую дробь:

$\frac{3y(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{3y}{x+y}$.

Упростим вторую дробь. Сначала преобразуем ее числитель, раскрыв куб разности:

$(x-y)^3 + 2x^3 + y^3 = (x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3) + 2x^3 + y^3 = 3x^3 - 3x^2y + 3xy^2$.

Вынесем общий множитель $3x$:

$3x(x^2 - xy + y^2)$.

Знаменатель второй дроби — это сумма кубов:

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.

Теперь вторая дробь имеет вид:

$\frac{3x(x^2 - xy + y^2)}{(x+y)(x^2-xy+y^2)} = \frac{3x}{x+y}$.

Сложим полученные дроби:

$\frac{3y}{x+y} + \frac{3x}{x+y} = \frac{3y+3x}{x+y} = \frac{3(y+x)}{x+y} = 3$.

Ответ: 3.