Номер 44, страница 281 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 2. Тождественные преобразования - номер 44, страница 281.

Условие.

Упростите выражения (44, 45).

44. a) $ \left(m+n-\frac{4mn}{m+n}\right):\left(\frac{m}{m+n}-\frac{n}{n-m}-\frac{2mn}{m^2-n^2}\right); $

б) $ \frac{a^3+b^3}{a+b}:\left(a^2-b^2\right)+\frac{2b}{a+b}-\frac{ab}{a^2-b^2}; $

в) $ \left(\frac{x}{x^2-4}-\frac{8}{x^2+2x}\right)\cdot \frac{x^2-2x}{4-x}+\frac{x+8}{x+2}; $

г) $ \left(\frac{1}{c^2+3c+2}+\frac{2c}{c^2+4c+3}+\frac{1}{c^2+5c+6}\right)^2\cdot\frac{(c-3)^2+12c}{2}. $

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Упростим по действиям. Сначала выполним действия в скобках, а затем деление.

1. Упростим выражение в первых скобках, приведя к общему знаменателю $m+n$:

$m + n - \frac{4mn}{m+n} = \frac{(m+n)(m+n)}{m+n} - \frac{4mn}{m+n} = \frac{m^2 + 2mn + n^2 - 4mn}{m+n} = \frac{m^2 - 2mn + n^2}{m+n} = \frac{(m-n)^2}{m+n}$

2. Упростим выражение во вторых скобках. Заметим, что $n-m = -(m-n)$ и $m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$. Общий знаменатель будет $(m-n)(m+n)$:

$\frac{m}{m+n} - \frac{n}{n-m} - \frac{2mn}{m^2 - n^2} = \frac{m}{m+n} + \frac{n}{m-n} - \frac{2mn}{(m-n)(m+n)} = \frac{m(m-n) + n(m+n) - 2mn}{(m-n)(m+n)} = \frac{m^2 - mn + mn + n^2 - 2mn}{(m-n)(m+n)} = \frac{m^2 - 2mn + n^2}{(m-n)(m+n)} = \frac{(m-n)^2}{(m-n)(m+n)}$

3. Выполним деление результатов первого и второго действий:

$\frac{(m-n)^2}{m+n} : \frac{(m-n)^2}{(m-n)(m+n)} = \frac{(m-n)^2}{m+n} \cdot \frac{(m-n)(m+n)}{(m-n)^2}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{(m-n)^2}}{\cancel{m+n}} \cdot \frac{(m-n)(\cancel{m+n})}{\cancel{(m-n)^2}} = m-n$

Ответ: $m-n$

б)

Упростим выражение, соблюдая порядок действий: сначала деление, затем сложение и вычитание.

1. Выполним деление. Сначала упростим делимое, используя формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$\frac{a^3+b^3}{a+b} = \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a+b} = a^2-ab+b^2$

Теперь разделим полученное выражение на $(a^2-b^2)$, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$(a^2-ab+b^2) : (a^2-b^2) = \frac{a^2-ab+b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2-ab+b^2}{(a-b)(a+b)}$

2. Подставим результат в исходное выражение и выполним оставшиеся действия:

$\frac{a^2-ab+b^2}{(a-b)(a+b)} + \frac{2b}{a+b} - \frac{ab}{a^2-b^2}$

Приведем все дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$:

$\frac{a^2-ab+b^2}{(a-b)(a+b)} + \frac{2b(a-b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a^2-ab+b^2) + (2ab-2b^2) - ab}{(a-b)(a+b)}$

3. Упростим числитель, приведя подобные слагаемые:

$a^2-ab+b^2 + 2ab-2b^2 - ab = a^2 + (-ab+2ab-ab) + (b^2-2b^2) = a^2 - b^2$

4. Получаем дробь:

$\frac{a^2-b^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2-b^2}{a^2-b^2} = 1$

Ответ: $1$

в)

Упростим выражение по действиям: сначала в скобках, затем умножение и сложение.

1. Выполним вычитание в скобках. Разложим знаменатели на множители: $x^2-4=(x-2)(x+2)$ и $x^2+2x=x(x+2)$.

$\frac{x}{x^2-4} - \frac{8}{x^2+2x} = \frac{x}{(x-2)(x+2)} - \frac{8}{x(x+2)}$

Общий знаменатель $x(x-2)(x+2)$. Приводим дроби к нему:

$\frac{x \cdot x - 8 \cdot (x-2)}{x(x-2)(x+2)} = \frac{x^2 - 8x + 16}{x(x-2)(x+2)} = \frac{(x-4)^2}{x(x-2)(x+2)}$

2. Выполним умножение. Разложим на множители $x^2-2x = x(x-2)$ и учтем, что $4-x = -(x-4)$:

$\frac{(x-4)^2}{x(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x^2-2x}{4-x} = \frac{(x-4)^2}{x(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x(x-2)}{-(x-4)}$

Сократим дроби:

$\frac{\cancel{(x-4)^2}^{\;x-4}}{\cancel{x}\cancel{(x-2)}(x+2)} \cdot \frac{\cancel{x}\cancel{(x-2)}}{-\cancel{(x-4)}} = \frac{x-4}{-(x+2)} = -\frac{x-4}{x+2} = \frac{4-x}{x+2}$

3. Выполним сложение:

$\frac{4-x}{x+2} + \frac{x+8}{x+2} = \frac{4-x+x+8}{x+2} = \frac{12}{x+2}$

Ответ: $\frac{12}{x+2}$

г)

Упростим выражение по действиям.

1. Упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители:

$c^2+3c+2 = (c+1)(c+2)$

$c^2+4c+3 = (c+1)(c+3)$

$c^2+5c+6 = (c+2)(c+3)$

Приведем дроби к общему знаменателю $(c+1)(c+2)(c+3)$:

$\frac{1}{(c+1)(c+2)} + \frac{2c}{(c+1)(c+3)} + \frac{1}{(c+2)(c+3)} = \frac{1(c+3) + 2c(c+2) + 1(c+1)}{(c+1)(c+2)(c+3)}$

Упростим числитель:

$c+3 + 2c^2+4c + c+1 = 2c^2+6c+4 = 2(c^2+3c+2) = 2(c+1)(c+2)$

Тогда выражение в скобках равно:

$\frac{2(c+1)(c+2)}{(c+1)(c+2)(c+3)} = \frac{2}{c+3}$

2. Возведем полученное выражение в квадрат:

$(\frac{2}{c+3})^2 = \frac{4}{(c+3)^2}$

3. Упростим второй множитель:

$\frac{(c-3)^2+12c}{2} = \frac{c^2-6c+9+12c}{2} = \frac{c^2+6c+9}{2} = \frac{(c+3)^2}{2}$

4. Перемножим результаты шагов 2 и 3:

$\frac{4}{(c+3)^2} \cdot \frac{(c+3)^2}{2} = \frac{4 \cdot \cancel{(c+3)^2}}{\cancel{(c+3)^2} \cdot 2} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: $2$