Номер 39, страница 280 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Параграф 1. Действительные числа. Глава 5. Задачи на повторение - номер 39, страница 280.

№39 (с. 280)
Условие. №39 (с. 280)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 280, номер 39, Условие

39. Сумма первых трех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 10,5, а сумма прогрессии равна 12. Найдите ее первый член и знаменатель.

Решение 1. №39 (с. 280)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 280, номер 39, Решение 1
Решение 3. №39 (с. 280)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 280, номер 39, Решение 3 Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 280, номер 39, Решение 3 (продолжение 2)
Решение 5. №39 (с. 280)

Обозначим первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии как $b_1$, а ее знаменатель как $q$. По определению, для такой прогрессии должно выполняться условие $|q| < 1$.

Согласно условию задачи, сумма первых трех членов прогрессии, $S_3$, равна 10,5. Сумма первых трех членов выражается как $S_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2$. Вынеся $b_1$ за скобки, получаем первое уравнение:
$b_1(1+q+q^2) = 10,5$

Также по условию, сумма всей прогрессии, $S$, равна 12. Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1-q}$. Это дает нам второе уравнение:
$\frac{b_1}{1-q} = 12$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:
$\begin{cases} b_1(1+q+q^2) = 10,5 \\ \frac{b_1}{1-q} = 12 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $b_1$:
$b_1 = 12(1-q)$

Теперь подставим это выражение для $b_1$ в первое уравнение системы:
$12(1-q)(1+q+q^2) = 10,5$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$. В нашем случае $(1-q)(1+q+q^2) = 1^3 - q^3 = 1 - q^3$. Уравнение примет вид:
$12(1-q^3) = 10,5$

Решим полученное уравнение относительно $q$. Разделим обе части на 12:
$1-q^3 = \frac{10,5}{12}$
Упростим дробь в правой части: $\frac{10,5}{12} = \frac{21/2}{12} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$.
$1 - q^3 = \frac{7}{8}$

Отсюда находим $q^3$:
$q^3 = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$

Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем значение знаменателя прогрессии:
$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$

Найденное значение $q=\frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $|q|<1$, так как $|\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q$ в выражение $b_1 = 12(1-q)$:
$b_1 = 12(1 - \frac{1}{2}) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$

Проверим найденные значения.
Сумма первых трех членов: $S_3 = 6 + 6 \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot (\frac{1}{2})^2 = 6 + 3 + 1,5 = 10,5$. (Верно)
Сумма прогрессии: $S = \frac{6}{1 - 1/2} = \frac{6}{1/2} = 12$. (Верно)

Ответ: первый член прогрессии равен 6, знаменатель равен $\frac{1}{2}$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 39 расположенного на странице 280 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №39 (с. 280), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.