Номер 39, страница 280 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 1. Действительные числа - номер 39, страница 280.

Условие.

39. Сумма первых трех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 10,5, а сумма прогрессии равна 12. Найдите ее первый член и знаменатель.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Обозначим первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии как $b_1$, а ее знаменатель как $q$. По определению, для такой прогрессии должно выполняться условие $|q| < 1$.

Согласно условию задачи, сумма первых трех членов прогрессии, $S_3$, равна 10,5. Сумма первых трех членов выражается как $S_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2$. Вынеся $b_1$ за скобки, получаем первое уравнение:
$b_1(1+q+q^2) = 10,5$

Также по условию, сумма всей прогрессии, $S$, равна 12. Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1-q}$. Это дает нам второе уравнение:
$\frac{b_1}{1-q} = 12$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:
$\begin{cases} b_1(1+q+q^2) = 10,5 \\ \frac{b_1}{1-q} = 12 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $b_1$:
$b_1 = 12(1-q)$

Теперь подставим это выражение для $b_1$ в первое уравнение системы:
$12(1-q)(1+q+q^2) = 10,5$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$. В нашем случае $(1-q)(1+q+q^2) = 1^3 - q^3 = 1 - q^3$. Уравнение примет вид:
$12(1-q^3) = 10,5$

Решим полученное уравнение относительно $q$. Разделим обе части на 12:
$1-q^3 = \frac{10,5}{12}$
Упростим дробь в правой части: $\frac{10,5}{12} = \frac{21/2}{12} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$.
$1 - q^3 = \frac{7}{8}$

Отсюда находим $q^3$:
$q^3 = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$

Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем значение знаменателя прогрессии:
$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$

Найденное значение $q=\frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $|q|<1$, так как $|\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q$ в выражение $b_1 = 12(1-q)$:
$b_1 = 12(1 - \frac{1}{2}) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$

Проверим найденные значения.
Сумма первых трех членов: $S_3 = 6 + 6 \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot (\frac{1}{2})^2 = 6 + 3 + 1,5 = 10,5$. (Верно)
Сумма прогрессии: $S = \frac{6}{1 - 1/2} = \frac{6}{1/2} = 12$. (Верно)

Ответ: первый член прогрессии равен 6, знаменатель равен $\frac{1}{2}$.