Номер 32, страница 280 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 1. Действительные числа. Глава 5. Задачи на повторение - номер 32, страница 280.

Условие.

32. Упростите выражение $(a - c)^2 + (b - c)^2 + (b - d)^2 - (a - d)^2$, если известно, что числа $a, b, c, d$, взятые в указанном порядке, составляют геометрическую прогрессию.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

По условию задачи числа $a$, $b$, $c$, $d$ образуют геометрическую прогрессию. Пусть $q$ — знаменатель этой прогрессии. Тогда справедливы следующие соотношения между членами прогрессии:

$b = aq, c = aq^2, d = aq^3$.

Из этих равенств можно вывести несколько полезных свойств, связывающих члены прогрессии:

1. Произведение второго и четвертого членов равно квадрату третьего члена: $bd = (aq)(aq^3) = a^2q^4 = (aq^2)^2 = c^2$. Итак, $c^2 = bd$.

2. Произведение первого и третьего членов равно квадрату второго члена: $ac = a(aq^2) = a^2q^2 = (aq)^2 = b^2$. Итак, $b^2 = ac$.

3. Произведение крайних членов равно произведению средних членов: $ad = a(aq^3) = a^2q^3$ и $bc = (aq)(aq^2) = a^2q^3$. Итак, $ad = bc$.

Теперь приступим к упрощению исходного выражения: $(a-c)^2 + (b-c)^2 + (b-d)^2 - (a-d)^2$.

Для начала раскроем все скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(a^2 - 2ac + c^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (b^2 - 2bd + d^2) - (a^2 - 2ad + d^2)$

Уберем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^2 - 2ac + c^2 + b^2 - 2bc + c^2 + b^2 - 2bd + d^2 - a^2 + 2ad - d^2$

Сгруппируем члены для упрощения. Заметим, что $a^2$ и $-a^2$ взаимно уничтожаются, так же как и $d^2$ и $-d^2$:

$(a^2 - a^2) + (d^2 - d^2) + 2b^2 + 2c^2 - 2ac - 2bc - 2bd + 2ad$

После сокращения получаем:

$2b^2 + 2c^2 - 2ac - 2bc - 2bd + 2ad$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(b^2 + c^2 - ac - bc - bd + ad)$

Теперь воспользуемся свойствами геометрической прогрессии, которые мы вывели ранее. Подставим $b^2 = ac$ и $c^2 = bd$ в выражение в скобках:

$2(ac + bd - ac - bc - bd + ad)$

Сократим взаимоуничтожающиеся члены $ac$ и $-ac$, а также $bd$ и $-bd$:

$2((ac - ac) + (bd - bd) - bc + ad) = 2(-bc + ad)$

Наконец, используем третье свойство: $ad = bc$.

$2(-bc + bc) = 2 \cdot 0 = 0$

Ответ: $0$