Номер 34, страница 280 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 1. Действительные числа - номер 34, страница 280.

Условие.

34. Четвертый член геометрической прогрессии больше второго на 24, а сумма второго и третьего равна 6. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Исходя из этого, второй, третий и четвертый члены прогрессии равны:
$b_2 = b_1 \cdot q$
$b_3 = b_1 \cdot q^2$
$b_4 = b_1 \cdot q^3$

По условию задачи, четвертый член больше второго на 24, а сумма второго и третьего равна 6. Составим систему уравнений, используя буквенные обозначения членов прогрессии:
$\begin{cases} b_4 - b_2 = 24 \\ b_2 + b_3 = 6 \end{cases}$

Теперь подставим выражения для членов прогрессии через $b_1$ и $q$:
$\begin{cases} b_1 q^3 - b_1 q = 24 \\ b_1 q + b_1 q^2 = 6 \end{cases}$

В каждом уравнении вынесем общий множитель за скобки:
$\begin{cases} b_1 q (q^2 - 1) = 24 \\ b_1 q (1 + q) = 6 \end{cases}$

Разделим первое уравнение системы на второе. Отметим, что $b_1 \neq 0$, $q \neq 0$ и $q \neq -1$, так как в противном случае второе уравнение обратилось бы в $0=6$, что неверно.
$\frac{b_1 q (q^2 - 1)}{b_1 q (1 + q)} = \frac{24}{6}$
$\frac{q^2 - 1}{1 + q} = 4$

Применим в числителе формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{(q - 1)(q + 1)}{q + 1} = 4$

Сократим дробь на $(q+1)$:
$q - 1 = 4$
$q = 5$

Мы нашли знаменатель прогрессии. Теперь найдем первый член $b_1$, подставив значение $q=5$ во второе уравнение исходной системы $b_1 q (1 + q) = 6$:
$b_1 \cdot 5 \cdot (1 + 5) = 6$
$b_1 \cdot 5 \cdot 6 = 6$
$30 b_1 = 6$
$b_1 = \frac{6}{30}$
$b_1 = \frac{1}{5}$

Таким образом, искомые величины найдены.
Ответ: первый член прогрессии $b_1 = \frac{1}{5}$, знаменатель прогрессии $q=5$.