Номер 36, страница 280 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 1. Действительные числа - номер 36, страница 280.

Условие.

36. Знаменатель конечной геометрической прогрессии равен $\frac{1}{3}$, четвертый ее член равен $\frac{1}{54}$, а сумма всех членов $\frac{121}{162}$. Сколько членов в этой прогрессии?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть $b_1$ - первый член конечной геометрической прогрессии, $q$ - ее знаменатель, $n$ - число ее членов, $b_4$ - четвертый член и $S_n$ - сумма всех членов прогрессии.

Из условия задачи имеем:
Знаменатель $q = \frac{1}{3}$.
Четвертый член $b_4 = \frac{1}{54}$.
Сумма всех членов $S_n = \frac{121}{162}$.

Требуется найти число членов прогрессии $n$.

1. Найдем первый член прогрессии $b_1$.
Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Для четвертого члена ($n=4$) формула принимает вид: $b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$.
Подставим в эту формулу известные значения $b_4$ и $q$:
$\frac{1}{54} = b_1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3$
$\frac{1}{54} = b_1 \cdot \frac{1}{27}$
Выразим $b_1$:
$b_1 = \frac{1}{54} \div \frac{1}{27} = \frac{1}{54} \cdot 27 = \frac{27}{54} = \frac{1}{2}$.

2. Найдем количество членов прогрессии $n$.
Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.
Подставим известные значения $S_n$, $b_1$ и $q$:
$\frac{121}{162} = \frac{\frac{1}{2}\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right)}{1-\frac{1}{3}}$
Сначала упростим знаменатель в правой части уравнения:
$1-\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
Подставим полученное значение обратно в уравнение:
$\frac{121}{162} = \frac{\frac{1}{2}\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right)}{\frac{2}{3}}$
Чтобы разделить на дробь $\frac{2}{3}$, умножим на обратную ей дробь $\frac{3}{2}$:
$\frac{121}{162} = \frac{1}{2} \cdot \left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right) \cdot \frac{3}{2}$
$\frac{121}{162} = \frac{3}{4} \cdot \left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right)$
Теперь выразим выражение в скобках:
$1-\left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{121}{162} \div \frac{3}{4} = \frac{121}{162} \cdot \frac{4}{3} = \frac{121 \cdot 4}{162 \cdot 3} = \frac{484}{486}$
Сократим полученную дробь на 2:
$1-\left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{242}{243}$
Теперь найдем $\left(\frac{1}{3}\right)^n$:
$\left(\frac{1}{3}\right)^n = 1 - \frac{242}{243} = \frac{243}{243} - \frac{242}{243} = \frac{1}{243}$
Нам нужно найти такое $n$, что $3^n = 243$.
$3^1 = 3$, $3^2 = 9$, $3^3 = 27$, $3^4 = 81$, $3^5 = 243$.
Таким образом, $n=5$.

Ответ: В этой прогрессии 5 членов.