Номер 36, страница 280 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Действительные числа. Глава 5. Задачи на повторение - номер 36, страница 280.
№36 (с. 280)
Условие. №36 (с. 280)
скриншот условия

36. Знаменатель конечной геометрической прогрессии равен $\frac{1}{3}$, четвертый ее член равен $\frac{1}{54}$, а сумма всех членов $\frac{121}{162}$. Сколько членов в этой прогрессии?
Решение 1. №36 (с. 280)

Решение 3. №36 (с. 280)

Решение 5. №36 (с. 280)
Пусть $b_1$ - первый член конечной геометрической прогрессии, $q$ - ее знаменатель, $n$ - число ее членов, $b_4$ - четвертый член и $S_n$ - сумма всех членов прогрессии.
Из условия задачи имеем:
Знаменатель $q = \frac{1}{3}$.
Четвертый член $b_4 = \frac{1}{54}$.
Сумма всех членов $S_n = \frac{121}{162}$.
Требуется найти число членов прогрессии $n$.
1. Найдем первый член прогрессии $b_1$.
Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Для четвертого члена ($n=4$) формула принимает вид: $b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$.
Подставим в эту формулу известные значения $b_4$ и $q$:
$\frac{1}{54} = b_1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3$
$\frac{1}{54} = b_1 \cdot \frac{1}{27}$
Выразим $b_1$:
$b_1 = \frac{1}{54} \div \frac{1}{27} = \frac{1}{54} \cdot 27 = \frac{27}{54} = \frac{1}{2}$.
2. Найдем количество членов прогрессии $n$.
Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.
Подставим известные значения $S_n$, $b_1$ и $q$:
$\frac{121}{162} = \frac{\frac{1}{2}\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right)}{1-\frac{1}{3}}$
Сначала упростим знаменатель в правой части уравнения:
$1-\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
Подставим полученное значение обратно в уравнение:
$\frac{121}{162} = \frac{\frac{1}{2}\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right)}{\frac{2}{3}}$
Чтобы разделить на дробь $\frac{2}{3}$, умножим на обратную ей дробь $\frac{3}{2}$:
$\frac{121}{162} = \frac{1}{2} \cdot \left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right) \cdot \frac{3}{2}$
$\frac{121}{162} = \frac{3}{4} \cdot \left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right)$
Теперь выразим выражение в скобках:
$1-\left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{121}{162} \div \frac{3}{4} = \frac{121}{162} \cdot \frac{4}{3} = \frac{121 \cdot 4}{162 \cdot 3} = \frac{484}{486}$
Сократим полученную дробь на 2:
$1-\left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{242}{243}$
Теперь найдем $\left(\frac{1}{3}\right)^n$:
$\left(\frac{1}{3}\right)^n = 1 - \frac{242}{243} = \frac{243}{243} - \frac{242}{243} = \frac{1}{243}$
Нам нужно найти такое $n$, что $3^n = 243$.
$3^1 = 3$, $3^2 = 9$, $3^3 = 27$, $3^4 = 81$, $3^5 = 243$.
Таким образом, $n=5$.
Ответ: В этой прогрессии 5 членов.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 36 расположенного на странице 280 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №36 (с. 280), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.