Номер 40, страница 280 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 1. Действительные числа. Глава 5. Задачи на повторение - номер 40, страница 280.

Условие.

40. Три числа, каждое из которых является степенью с основанием $a$ ($a > 0, a \neq 1$), составляют геометрическую прогрессию. Докажите, что логарифмы этих чисел составляют арифметическую прогрессию.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть даны три числа, которые мы обозначим как $b_1, b_2, b_3$. По условию, каждое из них является степенью с основанием $a$, где $a > 0$ и $a \neq 1$. Запишем эти числа в соответствующем виде:
$b_1 = a^{x_1}$
$b_2 = a^{x_2}$
$b_3 = a^{x_3}$
где $x_1, x_2, x_3$ — некоторые действительные числа (показатели степеней).

Также по условию эти три числа составляют геометрическую прогрессию. Характеристическое свойство геометрической прогрессии для трех последовательных членов заключается в том, что квадрат среднего члена равен произведению двух крайних членов:
$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим в это равенство выражения для $b_1, b_2, b_3$ через $a$:
$(a^{x_2})^2 = a^{x_1} \cdot a^{x_3}$

Применим свойства степеней: $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Тогда равенство примет вид:
$a^{2x_2} = a^{x_1 + x_3}$

Поскольку основание $a > 0$ и $a \neq 1$, из равенства степеней следует равенство их показателей:
$2x_2 = x_1 + x_3$

Теперь рассмотрим логарифмы этих чисел. В условии не указано основание логарифма, поэтому доказательство должно быть верным для логарифма по любому основанию $c$ ($c > 0, c \neq 1$). Обозначим логарифмы чисел $b_1, b_2, b_3$ как $l_1, l_2, l_3$:
$l_1 = \log_c(b_1) = \log_c(a^{x_1})$
$l_2 = \log_c(b_2) = \log_c(a^{x_2})$
$l_3 = \log_c(b_3) = \log_c(a^{x_3})$

Используя свойство логарифма степени ($\log_c(m^p) = p \cdot \log_c(m)$), получим:
$l_1 = x_1 \cdot \log_c(a)$
$l_2 = x_2 \cdot \log_c(a)$
$l_3 = x_3 \cdot \log_c(a)$

Нам необходимо доказать, что последовательность $l_1, l_2, l_3$ является арифметической прогрессией. Для этого достаточно показать, что выполняется ее характеристическое свойство: удвоенный средний член равен сумме крайних членов, то есть $2l_2 = l_1 + l_3$.

Проверим это равенство. Найдем сумму $l_1 + l_3$:
$l_1 + l_3 = x_1 \cdot \log_c(a) + x_3 \cdot \log_c(a) = (x_1 + x_3) \cdot \log_c(a)$

Ранее мы получили, что $x_1 + x_3 = 2x_2$. Подставим это выражение в нашу сумму:
$l_1 + l_3 = (2x_2) \cdot \log_c(a) = 2 \cdot (x_2 \cdot \log_c(a))$

Так как $l_2 = x_2 \cdot \log_c(a)$, то мы приходим к равенству:
$l_1 + l_3 = 2l_2$

Это равенство и является признаком арифметической прогрессии. Таким образом, мы доказали, что логарифмы исходных чисел составляют арифметическую прогрессию. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано: если три числа, являющиеся степенями с одинаковым основанием, составляют геометрическую прогрессию, то их логарифмы составляют арифметическую прогрессию.