Номер 38, страница 280 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 1. Действительные числа - номер 38, страница 280.

Условие.

38. Найдите знаменатель и сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, в которой $b_1 = \sqrt{3}$, $b_2 = \frac{2}{\sqrt{3}+1}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Знаменатель
Для нахождения знаменателя $q$ геометрической прогрессии используется формула $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$. В данном случае мы можем найти $q$, разделив второй член прогрессии $b_2$ на первый $b_1$.

Исходные данные: $b_1 = \sqrt{3}$ и $b_2 = \frac{2}{\sqrt{3} + 1}$.

Подставляем значения в формулу:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3} + 1}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)} = \frac{2}{3 + \sqrt{3}}$

Для упрощения выражения и дальнейших расчетов избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(3 - \sqrt{3})$.

$q = \frac{2}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = \frac{2(3 - \sqrt{3})}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2(3 - \sqrt{3})}{9 - 3} = \frac{2(3 - \sqrt{3})}{6} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

Прогрессия является бесконечно убывающей, если ее знаменатель $q$ по модулю меньше единицы, то есть $|q| < 1$. Проверим это условие:

$q = \frac{3 - \sqrt{3}}{3} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Зная, что $1 < \sqrt{3} < 2$, мы можем оценить значение $q$: $1 - \frac{2}{3} < 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} < 1 - \frac{1}{3}$, что дает $\frac{1}{3} < q < \frac{2}{3}$.

Так как $0 < q < 1$, условие $|q| < 1$ выполняется, следовательно, данная прогрессия действительно является бесконечно убывающей.

Ответ: $q = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$.

Сумма
Сумма $S$ бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$.

Мы имеем $b_1 = \sqrt{3}$ и $q = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$. Сначала найдем значение выражения $(1 - q)$:

$1 - q = 1 - \frac{3 - \sqrt{3}}{3} = \frac{3}{3} - \frac{3 - \sqrt{3}}{3} = \frac{3 - (3 - \sqrt{3})}{3} = \frac{3 - 3 + \sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Теперь подставим найденные значения в формулу для суммы:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = 3$

Ответ: $S = 3$.