Номер 37, страница 280 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Параграф 1. Действительные числа. Глава 5. Задачи на повторение - номер 37, страница 280.

№37 (с. 280)
Условие. №37 (с. 280)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 280, номер 37, Условие

37. Найдите четыре числа, из которых первые три составляют геометрическую прогрессию, а последние три — арифметическую, если сумма крайних чисел равна 14, а сумма средних 12.

Решение 1. №37 (с. 280)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 280, номер 37, Решение 1
Решение 3. №37 (с. 280)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 280, номер 37, Решение 3
Решение 5. №37 (с. 280)

Обозначим искомые четыре числа как $a, b, c, d$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

  1. Первые три числа ($a, b, c$) составляют геометрическую прогрессию, следовательно, выполняется свойство $b^2 = a \cdot c$.
  2. Последние три числа ($b, c, d$) составляют арифметическую прогрессию, следовательно, выполняется свойство $2c = b + d$.
  3. Сумма крайних чисел равна 14: $a + d = 14$.
  4. Сумма средних чисел равна 12: $b + c = 12$.

Таким образом, мы имеем систему из четырех уравнений:

$$ \begin{cases} b^2 = ac \\ 2c = b + d \\ a + d = 14 \\ b + c = 12 \end{cases} $$

Для решения системы выразим некоторые переменные через другие. Из третьего и четвертого уравнений получаем:

$d = 14 - a$

$c = 12 - b$

Подставим эти выражения в первые два уравнения. Второе уравнение примет вид:

$2(12 - b) = b + (14 - a)$

$24 - 2b = b + 14 - a$

$10 = 3b - a$

Отсюда выразим $a$ через $b$:

$a = 3b - 10$

Теперь подставим выражения для $a$ и $c$ в первое уравнение системы:

$b^2 = (3b - 10)(12 - b)$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$b^2 = 36b - 3b^2 - 120 + 10b$

$b^2 = -3b^2 + 46b - 120$

$4b^2 - 46b + 120 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$2b^2 - 23b + 60 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = (-23)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 60 = 529 - 480 = 49 = 7^2$

Корни для $b$:

$b_1 = \frac{23 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{30}{4} = 4$

$b_2 = \frac{23 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Решение 1

Пусть $b=4$. Найдем остальные числа:

  • $c = 12 - b = 12 - 4 = 8$
  • $a = 3b - 10 = 3 \cdot 4 - 10 = 12 - 10 = 2$
  • $d = 14 - a = 14 - 2 = 12$

Получили последовательность чисел: 2, 4, 8, 12. Проверим, удовлетворяет ли она условиям:

  • Первые три (2, 4, 8) — геометрическая прогрессия со знаменателем $q=2$.
  • Последние три (4, 8, 12) — арифметическая прогрессия с разностью $d=4$.
  • Сумма крайних: $2 + 12 = 14$.
  • Сумма средних: $4 + 8 = 12$.

Все условия выполнены.

Ответ: 2, 4, 8, 12.

Решение 2

Пусть $b=7.5$, или $b = \frac{15}{2}$. Найдем остальные числа:

  • $c = 12 - b = 12 - 7.5 = 4.5$ (или $c = 12 - \frac{15}{2} = \frac{9}{2}$)
  • $a = 3b - 10 = 3 \cdot 7.5 - 10 = 22.5 - 10 = 12.5$ (или $a = 3 \cdot \frac{15}{2} - 10 = \frac{25}{2}$)
  • $d = 14 - a = 14 - 12.5 = 1.5$ (или $d = 14 - \frac{25}{2} = \frac{3}{2}$)

Получили последовательность чисел: 12.5, 7.5, 4.5, 1.5. Проверим, удовлетворяет ли она условиям:

  • Первые три (12.5, 7.5, 4.5) — геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{7.5}{12.5} = \frac{3}{5} = 0.6$.
  • Последние три (7.5, 4.5, 1.5) — арифметическая прогрессия с разностью $d = 4.5 - 7.5 = -3$.
  • Сумма крайних: $12.5 + 1.5 = 14$.
  • Сумма средних: $7.5 + 4.5 = 12$.

Все условия выполнены.

Ответ: 12.5, 7.5, 4.5, 1.5 (или $\frac{25}{2}, \frac{15}{2}, \frac{9}{2}, \frac{3}{2}$).

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 37 расположенного на странице 280 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №37 (с. 280), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.