Номер 37, страница 280 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 1. Действительные числа - номер 37, страница 280.

Условие.

37. Найдите четыре числа, из которых первые три составляют геометрическую прогрессию, а последние три — арифметическую, если сумма крайних чисел равна 14, а сумма средних 12.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Обозначим искомые четыре числа как $a, b, c, d$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

1. Первые три числа ($a, b, c$) составляют геометрическую прогрессию, следовательно, выполняется свойство $b^2 = a \cdot c$.
2. Последние три числа ($b, c, d$) составляют арифметическую прогрессию, следовательно, выполняется свойство $2c = b + d$.
3. Сумма крайних чисел равна 14: $a + d = 14$.
4. Сумма средних чисел равна 12: $b + c = 12$.

Таким образом, мы имеем систему из четырех уравнений:

$$ \begin{cases} b^2 = ac \\ 2c = b + d \\ a + d = 14 \\ b + c = 12 \end{cases} $$

Для решения системы выразим некоторые переменные через другие. Из третьего и четвертого уравнений получаем:

$d = 14 - a$

$c = 12 - b$

Подставим эти выражения в первые два уравнения. Второе уравнение примет вид:

$2(12 - b) = b + (14 - a)$

$24 - 2b = b + 14 - a$

$10 = 3b - a$

Отсюда выразим $a$ через $b$:

$a = 3b - 10$

Теперь подставим выражения для $a$ и $c$ в первое уравнение системы:

$b^2 = (3b - 10)(12 - b)$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$b^2 = 36b - 3b^2 - 120 + 10b$

$b^2 = -3b^2 + 46b - 120$

$4b^2 - 46b + 120 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$2b^2 - 23b + 60 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = (-23)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 60 = 529 - 480 = 49 = 7^2$

Корни для $b$:

$b_1 = \frac{23 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{30}{4} = 4$

$b_2 = \frac{23 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Решение 1

Пусть $b=4$. Найдем остальные числа:

• $c = 12 - b = 12 - 4 = 8$
• $a = 3b - 10 = 3 \cdot 4 - 10 = 12 - 10 = 2$
• $d = 14 - a = 14 - 2 = 12$

Получили последовательность чисел: 2, 4, 8, 12. Проверим, удовлетворяет ли она условиям:

• Первые три (2, 4, 8) — геометрическая прогрессия со знаменателем $q=2$.
• Последние три (4, 8, 12) — арифметическая прогрессия с разностью $d=4$.
• Сумма крайних: $2 + 12 = 14$.
• Сумма средних: $4 + 8 = 12$.

Все условия выполнены.

Ответ: 2, 4, 8, 12.

Решение 2

Пусть $b=7.5$, или $b = \frac{15}{2}$. Найдем остальные числа:

• $c = 12 - b = 12 - 7.5 = 4.5$ (или $c = 12 - \frac{15}{2} = \frac{9}{2}$)
• $a = 3b - 10 = 3 \cdot 7.5 - 10 = 22.5 - 10 = 12.5$ (или $a = 3 \cdot \frac{15}{2} - 10 = \frac{25}{2}$)
• $d = 14 - a = 14 - 12.5 = 1.5$ (или $d = 14 - \frac{25}{2} = \frac{3}{2}$)

Получили последовательность чисел: 12.5, 7.5, 4.5, 1.5. Проверим, удовлетворяет ли она условиям:

• Первые три (12.5, 7.5, 4.5) — геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{7.5}{12.5} = \frac{3}{5} = 0.6$.
• Последние три (7.5, 4.5, 1.5) — арифметическая прогрессия с разностью $d = 4.5 - 7.5 = -3$.
• Сумма крайних: $12.5 + 1.5 = 14$.
• Сумма средних: $7.5 + 4.5 = 12$.

Все условия выполнены.

Ответ: 12.5, 7.5, 4.5, 1.5 (или $\frac{25}{2}, \frac{15}{2}, \frac{9}{2}, \frac{3}{2}$).