Номер 37, страница 280 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Действительные числа. Глава 5. Задачи на повторение - номер 37, страница 280.
№37 (с. 280)
Условие. №37 (с. 280)
скриншот условия

37. Найдите четыре числа, из которых первые три составляют геометрическую прогрессию, а последние три — арифметическую, если сумма крайних чисел равна 14, а сумма средних 12.
Решение 1. №37 (с. 280)

Решение 3. №37 (с. 280)

Решение 5. №37 (с. 280)
Обозначим искомые четыре числа как $a, b, c, d$.
Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:
- Первые три числа ($a, b, c$) составляют геометрическую прогрессию, следовательно, выполняется свойство $b^2 = a \cdot c$.
- Последние три числа ($b, c, d$) составляют арифметическую прогрессию, следовательно, выполняется свойство $2c = b + d$.
- Сумма крайних чисел равна 14: $a + d = 14$.
- Сумма средних чисел равна 12: $b + c = 12$.
Таким образом, мы имеем систему из четырех уравнений:
$$ \begin{cases} b^2 = ac \\ 2c = b + d \\ a + d = 14 \\ b + c = 12 \end{cases} $$
Для решения системы выразим некоторые переменные через другие. Из третьего и четвертого уравнений получаем:
$d = 14 - a$
$c = 12 - b$
Подставим эти выражения в первые два уравнения. Второе уравнение примет вид:
$2(12 - b) = b + (14 - a)$
$24 - 2b = b + 14 - a$
$10 = 3b - a$
Отсюда выразим $a$ через $b$:
$a = 3b - 10$
Теперь подставим выражения для $a$ и $c$ в первое уравнение системы:
$b^2 = (3b - 10)(12 - b)$
Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$b^2 = 36b - 3b^2 - 120 + 10b$
$b^2 = -3b^2 + 46b - 120$
$4b^2 - 46b + 120 = 0$
Разделим уравнение на 2 для упрощения:
$2b^2 - 23b + 60 = 0$
Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:
$D = (-23)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 60 = 529 - 480 = 49 = 7^2$
Корни для $b$:
$b_1 = \frac{23 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{30}{4} = 4$
$b_2 = \frac{23 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$
Таким образом, задача имеет два возможных решения.
Решение 1
Пусть $b=4$. Найдем остальные числа:
- $c = 12 - b = 12 - 4 = 8$
- $a = 3b - 10 = 3 \cdot 4 - 10 = 12 - 10 = 2$
- $d = 14 - a = 14 - 2 = 12$
Получили последовательность чисел: 2, 4, 8, 12. Проверим, удовлетворяет ли она условиям:
- Первые три (2, 4, 8) — геометрическая прогрессия со знаменателем $q=2$.
- Последние три (4, 8, 12) — арифметическая прогрессия с разностью $d=4$.
- Сумма крайних: $2 + 12 = 14$.
- Сумма средних: $4 + 8 = 12$.
Все условия выполнены.
Ответ: 2, 4, 8, 12.
Решение 2
Пусть $b=7.5$, или $b = \frac{15}{2}$. Найдем остальные числа:
- $c = 12 - b = 12 - 7.5 = 4.5$ (или $c = 12 - \frac{15}{2} = \frac{9}{2}$)
- $a = 3b - 10 = 3 \cdot 7.5 - 10 = 22.5 - 10 = 12.5$ (или $a = 3 \cdot \frac{15}{2} - 10 = \frac{25}{2}$)
- $d = 14 - a = 14 - 12.5 = 1.5$ (или $d = 14 - \frac{25}{2} = \frac{3}{2}$)
Получили последовательность чисел: 12.5, 7.5, 4.5, 1.5. Проверим, удовлетворяет ли она условиям:
- Первые три (12.5, 7.5, 4.5) — геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{7.5}{12.5} = \frac{3}{5} = 0.6$.
- Последние три (7.5, 4.5, 1.5) — арифметическая прогрессия с разностью $d = 4.5 - 7.5 = -3$.
- Сумма крайних: $12.5 + 1.5 = 14$.
- Сумма средних: $7.5 + 4.5 = 12$.
Все условия выполнены.
Ответ: 12.5, 7.5, 4.5, 1.5 (или $\frac{25}{2}, \frac{15}{2}, \frac{9}{2}, \frac{3}{2}$).
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 37 расположенного на странице 280 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №37 (с. 280), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.