Номер 30, страница 280 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Действительные числа. Глава 5. Задачи на повторение - номер 30, страница 280.
№30 (с. 280)
Условие. №30 (с. 280)
скриншот условия

30. Докажите, что числа $\frac{1}{\log_3 2}$, $\frac{1}{\log_6 2}$, $\frac{1}{\log_{12} 2}$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.
Решение 1. №30 (с. 280)

Решение 3. №30 (с. 280)


Решение 5. №30 (с. 280)
Для того чтобы доказать, что три числа являются последовательными членами арифметической прогрессии, необходимо показать, что разность между последующим и предыдущим членом для них одинакова. Другими словами, если у нас есть числа $a_1, a_2, a_3$, то они образуют арифметическую прогрессию, если выполняется равенство $a_2 - a_1 = a_3 - a_2$.
Обозначим данные в задаче числа:
$a_1 = \frac{1}{\log_3 2}$
$a_2 = \frac{1}{\log_6 2}$
$a_3 = \frac{1}{\log_{12} 2}$
Для упрощения выражений воспользуемся свойством логарифма: $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$.
Применим это свойство к каждому из наших чисел:
$a_1 = \log_2 3$
$a_2 = \log_2 6$
$a_3 = \log_2 {12}$
Теперь у нас есть последовательность чисел $\log_2 3$, $\log_2 6$, $\log_2 {12}$. Проверим для них выполнение условия арифметической прогрессии, вычислив разности между соседними членами.
Найдем разность между вторым и первым членами:
$a_2 - a_1 = \log_2 6 - \log_2 3$
Используя свойство разности логарифмов $\log_c x - \log_c y = \log_c(\frac{x}{y})$, получаем:
$a_2 - a_1 = \log_2\left(\frac{6}{3}\right) = \log_2 2 = 1$
Теперь найдем разность между третьим и вторым членами:
$a_3 - a_2 = \log_2 {12} - \log_2 6$
Используя то же свойство:
$a_3 - a_2 = \log_2\left(\frac{12}{6}\right) = \log_2 2 = 1$
Поскольку разности между соседними членами равны ($a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = 1$), то последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=1$. Таким образом, исходные числа $\frac{1}{\log_3 2}$, $\frac{1}{\log_6 2}$, $\frac{1}{\log_{12} 2}$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 30 расположенного на странице 280 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №30 (с. 280), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.