Номер 30, страница 280 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 1. Действительные числа - номер 30, страница 280.

Условие.

30. Докажите, что числа $\frac{1}{\log_3 2}$, $\frac{1}{\log_6 2}$, $\frac{1}{\log_{12} 2}$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для того чтобы доказать, что три числа являются последовательными членами арифметической прогрессии, необходимо показать, что разность между последующим и предыдущим членом для них одинакова. Другими словами, если у нас есть числа $a_1, a_2, a_3$, то они образуют арифметическую прогрессию, если выполняется равенство $a_2 - a_1 = a_3 - a_2$.

Обозначим данные в задаче числа:
$a_1 = \frac{1}{\log_3 2}$
$a_2 = \frac{1}{\log_6 2}$
$a_3 = \frac{1}{\log_{12} 2}$

Для упрощения выражений воспользуемся свойством логарифма: $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$.
Применим это свойство к каждому из наших чисел:
$a_1 = \log_2 3$
$a_2 = \log_2 6$
$a_3 = \log_2 {12}$

Теперь у нас есть последовательность чисел $\log_2 3$, $\log_2 6$, $\log_2 {12}$. Проверим для них выполнение условия арифметической прогрессии, вычислив разности между соседними членами.

Найдем разность между вторым и первым членами:
$a_2 - a_1 = \log_2 6 - \log_2 3$
Используя свойство разности логарифмов $\log_c x - \log_c y = \log_c(\frac{x}{y})$, получаем:
$a_2 - a_1 = \log_2\left(\frac{6}{3}\right) = \log_2 2 = 1$

Теперь найдем разность между третьим и вторым членами:
$a_3 - a_2 = \log_2 {12} - \log_2 6$
Используя то же свойство:
$a_3 - a_2 = \log_2\left(\frac{12}{6}\right) = \log_2 2 = 1$

Поскольку разности между соседними членами равны ($a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = 1$), то последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=1$. Таким образом, исходные числа $\frac{1}{\log_3 2}$, $\frac{1}{\log_6 2}$, $\frac{1}{\log_{12} 2}$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.