Номер 35, страница 280 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 1. Действительные числа - номер 35, страница 280.

Условие.

35. Найдите число членов конечной геометрической прогрессии, у которой первый, второй и последний члены соответственно равны 3, 12 и 3072.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия, которую мы обозначим как $(b_n)$, где $n$ — это искомое число членов.

Из условия задачи нам известны следующие значения:

- Первый член прогрессии: $b_1 = 3$.

- Второй член прогрессии: $b_2 = 12$.

- Последний (n-й) член прогрессии: $b_n = 3072$.

Для нахождения числа членов $n$ необходимо выполнить следующие шаги.

1. Найти знаменатель геометрической прогрессии $q$.

Знаменатель прогрессии — это постоянное число, на которое умножается каждый член, чтобы получить следующий. Его можно найти, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{12}{3} = 4$

2. Использовать формулу n-го члена геометрической прогрессии.

Формула для нахождения любого члена геометрической прогрессии имеет вид:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

3. Подставить известные значения в формулу и решить уравнение.

Подставим известные нам значения $b_1 = 3$, $q = 4$ и $b_n = 3072$ в формулу:

$3072 = 3 \cdot 4^{n-1}$

Теперь решим это уравнение относительно $n$. Для начала, разделим обе части уравнения на 3:

$4^{n-1} = \frac{3072}{3}$

$4^{n-1} = 1024$

Далее, чтобы решить это показательное уравнение, представим число 1024 в виде степени с основанием 4.

$4^2 = 16$
$4^3 = 64$
$4^4 = 256$
$4^5 = 1024$

Таким образом, $1024 = 4^5$. Заменим 1024 в нашем уравнении:

$4^{n-1} = 4^5$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$n - 1 = 5$

Осталось найти $n$:

$n = 5 + 1$

$n = 6$

Следовательно, в данной конечной геометрической прогрессии 6 членов.

Ответ: 6