Номер 42, страница 281 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 2. Тождественные преобразования - номер 42, страница 281.

Условие.

42. Докажите, что:

a) $n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n$ делится на 24, если $n \in N;$

б) $(n^2 + 4n + 3)(n^2 + 6n + 8)$ делится на 24, если $n \in N;$

в) $n^3 - n$ делится на 6, если $n \in N;$

г) $n^3 - 4n$ делится на 48, если $n \in N, n$ — четное.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Докажите, что $n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n$ делится на 24, если $n \in \mathbb{N}$;

Обозначим выражение как $A(n) = n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n$. Разложим его на множители методом группировки:

$A(n) = (n^4 + 2n^3) - (n^2 + 2n) = n^3(n + 2) - n(n + 2) = (n^3 - n)(n + 2)$

Продолжим разложение:

$A(n) = n(n^2 - 1)(n + 2) = n(n - 1)(n + 1)(n + 2)$

Переставив множители, получим произведение четырех последовательных натуральных чисел: $A(n) = (n - 1)n(n + 1)(n + 2)$.

Чтобы доказать, что $A(n)$ делится на 24, нужно доказать, что оно делится на 3 и на 8, так как $24 = 3 \cdot 8$ и числа 3 и 8 являются взаимно простыми.

Делимость на 3: Среди любых трех последовательных натуральных чисел одно из них обязательно делится на 3. В нашем произведении есть группа из трех последовательных чисел $(n - 1), n, (n + 1)$, следовательно, все произведение делится на 3.

Делимость на 8: Среди четырех последовательных натуральных чисел всегда есть два четных числа. Эти два числа являются последовательными четными числами, то есть их можно представить в виде $2k$ и $2k+2$ для некоторого натурального $k$. Их произведение равно $2k(2k + 2) = 4k(k + 1)$. Так как $k$ и $k+1$ — это два последовательных числа, одно из них четное, поэтому их произведение $k(k+1)$ делится на 2. Таким образом, произведение двух последовательных четных чисел $4k(k+1)$ всегда делится на $4 \cdot 2 = 8$. Поскольку наше выражение является произведением четырех последовательных чисел, оно всегда делится на 8.

Поскольку выражение $A(n)$ делится и на 3, и на 8, оно делится на их произведение $3 \cdot 8 = 24$.

Ответ: Доказано.

б) Докажите, что $(n^2 + 4n + 3)(n^2 + 6n + 8)$ делится на 24, если $n \in \mathbb{N}$;

Обозначим выражение как $B(n) = (n^2 + 4n + 3)(n^2 + 6n + 8)$. Разложим каждый квадратный трехчлен на множители.

Для первого трехчлена $n^2 + 4n + 3$: найдем корни уравнения $n^2 + 4n + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $n_1 = -1$ и $n_2 = -3$. Тогда $n^2 + 4n + 3 = (n - (-1))(n - (-3)) = (n + 1)(n + 3)$.

Для второго трехчлена $n^2 + 6n + 8$: найдем корни уравнения $n^2 + 6n + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $n_1 = -2$ и $n_2 = -4$. Тогда $n^2 + 6n + 8 = (n - (-2))(n - (-4)) = (n + 2)(n + 4)$.

Подставим разложения в исходное выражение:

$B(n) = (n + 1)(n + 3)(n + 2)(n + 4)$

Перегруппируем множители в порядке возрастания:

$B(n) = (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)$

Получилось произведение четырех последовательных натуральных чисел. Как было доказано в пункте а), произведение четырех последовательных натуральных чисел всегда делится на 24.

Ответ: Доказано.

в) Докажите, что $n^3 - n$ делится на 6, если $n \in \mathbb{N}$;

Обозначим выражение как $C(n) = n^3 - n$. Разложим его на множители:

$C(n) = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1)$

Переставив множители, получим произведение трех последовательных натуральных чисел: $C(n) = (n - 1)n(n + 1)$.

Чтобы доказать, что $C(n)$ делится на 6, нужно доказать, что оно делится на 2 и на 3, так как $6 = 2 \cdot 3$ и числа 2 и 3 взаимно простые.

Делимость на 2: Среди любых двух последовательных натуральных чисел одно четное. В нашем произведении есть как минимум одна пара последовательных чисел (например, $n-1$ и $n$), поэтому произведение делится на 2.

Делимость на 3: Среди любых трех последовательных натуральных чисел одно делится на 3. Наше выражение является произведением именно таких трех чисел, поэтому оно делится на 3.

Поскольку выражение $C(n)$ делится и на 2, и на 3, оно делится на их произведение $2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: Доказано.

г) Докажите, что $n^3 - 4n$ делится на 48, если $n \in \mathbb{N}$, $n$ — четное.

Обозначим выражение как $D(n) = n^3 - 4n$. По условию, $n$ является четным натуральным числом. Это означает, что $n$ можно представить в виде $n = 2k$, где $k \in \mathbb{N}$.

Разложим сначала выражение на множители:

$D(n) = n(n^2 - 4) = n(n - 2)(n + 2)$

Теперь подставим $n = 2k$ в разложенное выражение:

$D(n) = (2k)(2k - 2)(2k + 2) = 2k \cdot 2(k - 1) \cdot 2(k + 1)$

Вынесем числовые множители вперед:

$D(n) = 8(k - 1)k(k + 1)$

Выражение $(k - 1)k(k + 1)$ представляет собой произведение трех последовательных натуральных чисел. Как было показано в пункте в), такое произведение всегда делится на 6. Следовательно, $(k - 1)k(k + 1) = 6m$ для некоторого целого числа $m$.

Тогда $D(n) = 8 \cdot (6m) = 48m$.

Это означает, что выражение $D(n)$ всегда делится на 48 при четном $n$.

Ответ: Доказано.