Номер 43, страница 281 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 2. Тождественные преобразования - номер 43, страница 281.

Условие.

43. Сократите дробь:

а) $\frac{a^3 + a^2 - a - 1}{a^2 + 2a + 1}$;

б) $\frac{x^2 + x - 12}{x^2 + 8x + 16}$;

в) $\frac{2a^2 - 5a + 2}{ab - 2b - 3a + 6}$;

г) $\frac{x^3 - 27}{x^2 y + 3xy + 9y}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{a^3 + a^2 - a - 1}{a^2 + 2a + 1}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Разложим на множители числитель, используя метод группировки:
$a^3 + a^2 - a - 1 = (a^3 + a^2) - (a + 1) = a^2(a + 1) - 1(a + 1) = (a + 1)(a^2 - 1)$.
Выражение $a^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$.
Таким образом, числитель равен $(a + 1)(a - 1)(a + 1) = (a - 1)(a + 1)^2$.

Разложим на множители знаменатель. Выражение $a^2 + 2a + 1$ является полным квадратом суммы по формуле $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общие множители:
$\frac{(a - 1)(a + 1)^2}{(a + 1)^2} = a - 1$.

Сокращение возможно при условии, что $(a + 1)^2 \neq 0$, то есть $a \neq -1$.

Ответ: $a - 1$.

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 + x - 12}{x^2 + 8x + 16}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель.

Разложим числитель $x^2 + x - 12$. Это квадратный трехчлен. Найдем его корни, решив уравнение $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-12$. Корнями являются числа $-4$ и $3$.
Тогда разложение имеет вид: $x^2 + x - 12 = (x - 3)(x - (-4)) = (x - 3)(x + 4)$.

Разложим знаменатель $x^2 + 8x + 16$. Это полный квадрат суммы по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$x^2 + 8x + 16 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x + 4)^2$.

Подставим разложения в дробь и сократим:
$\frac{(x - 3)(x + 4)}{(x + 4)^2} = \frac{x - 3}{x + 4}$.

Сокращение возможно при условии, что $x + 4 \neq 0$, то есть $x \neq -4$.

Ответ: $\frac{x - 3}{x + 4}$.

в)

Сократим дробь $\frac{2a^2 - 5a + 2}{ab - 2b - 3a + 6}$. Для этого разложим на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $2a^2 - 5a + 2$. Найдем корни квадратного уравнения $2a^2 - 5a + 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Корни: $a_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$; $a_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
Разложение квадратного трехчлена: $2a^2 - 5a + 2 = 2(a - \frac{1}{2})(a - 2) = (2a - 1)(a - 2)$.

Разложим знаменатель $ab - 2b - 3a + 6$ методом группировки:
$ab - 2b - 3a + 6 = (ab - 2b) - (3a - 6) = b(a - 2) - 3(a - 2) = (a - 2)(b - 3)$.

Подставим разложения в дробь и выполним сокращение:
$\frac{(2a - 1)(a - 2)}{(a - 2)(b - 3)} = \frac{2a - 1}{b - 3}$.

Сокращение возможно при условиях $a - 2 \neq 0$ и $b - 3 \neq 0$, то есть $a \neq 2$ и $b \neq 3$.

Ответ: $\frac{2a - 1}{b - 3}$.

г)

Сократим дробь $\frac{x^3 - 27}{x^2 y + 3xy + 9y}$.

Разложим на множители числитель $x^3 - 27$. Это разность кубов $x^3 - 3^3$. Используем формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$.

Разложим на множители знаменатель $x^2 y + 3xy + 9y$. Вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$x^2 y + 3xy + 9y = y(x^2 + 3x + 9)$.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $(x^2 + 3x + 9)$:
$\frac{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)}{y(x^2 + 3x + 9)} = \frac{x - 3}{y}$.

Сокращение возможно при условиях $y \neq 0$ и $x^2 + 3x + 9 \neq 0$. Выражение $x^2 + 3x + 9$ всегда положительно для любых действительных $x$, так как его дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27 < 0$.

Ответ: $\frac{x - 3}{y}$.