Номер 13, страница 278 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 1. Действительные числа - номер 13, страница 278.

Условие.

13. Запишите в виде обыкновенной дроби:

а) $2,(3);$

б) $0,(66);$

в) $1,0(8);$

г) $1,(33).$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) 2,(3)

Чтобы преобразовать периодическую дробь 2,(3) в обыкновенную, обозначим это число через $x$.
$x = 2,(3) = 2.333...$
Так как в периоде одна цифра, умножим обе части этого равенства на 10, чтобы сдвинуть запятую на один знак вправо:
$10x = 23.333...$
Теперь вычтем из второго равенства первое. Это позволит избавиться от бесконечной дробной части.
$10x - x = 23.333... - 2.333...$
$9x = 21$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{21}{9}$
Сокращаем полученную дробь на 3:
$x = \frac{7}{3}$
Можно также записать в виде смешанной дроби $2\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{7}{3}$

б) 0,(66)

Обозначим число 0,(66) через $x$. Запись 0,(66) означает $0.6666...$, что эквивалентно $0,(6)$.
$x = 0,(66) = 0.6666...$
В периоде указаны две цифры, поэтому умножим обе части равенства на 100:
$100x = 66.6666...$
Вычтем из второго равенства первое:
$100x - x = 66.6666... - 0.6666...$
$99x = 66$
Находим $x$:
$x = \frac{66}{99}$
Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 33:
$x = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

в) 1,0(8)

Обозначим число 1,0(8) через $x$. Это смешанная периодическая дробь.
$x = 1,0(8) = 1.0888...$
Сначала умножим на 10, чтобы после запятой осталась только периодическая часть:
$10x = 10.888...$
Теперь умножим это новое равенство еще на 10 (или исходное на 100), чтобы сдвинуть запятую на один знак вправо, за первую цифру периода:
$100x = 108.888...$
Вычтем из второго полученного равенства первое:
$100x - 10x = 108.888... - 10.888...$
$90x = 98$
Находим $x$:
$x = \frac{98}{90}$
Сокращаем дробь на 2:
$x = \frac{49}{45}$
Можно также записать в виде смешанной дроби $1\frac{4}{45}$.

Ответ: $\frac{49}{45}$

г) 1,(33)

Обозначим число 1,(33) через $x$. Запись 1,(33) означает $1.3333...$, что эквивалентно $1,(3)$.
$x = 1,(33) = 1.3333...$
В периоде указаны две цифры, поэтому умножим обе части равенства на 100:
$100x = 133.3333...$
Вычтем из второго равенства первое:
$100x - x = 133.3333... - 1.3333...$
$99x = 132$
Находим $x$:
$x = \frac{132}{99}$
Сокращаем дробь на их наибольший общий делитель, равный 33:
$x = \frac{4}{3}$
Можно также записать в виде смешанной дроби $1\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$