Номер 5, страница 274 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Вопросы и задачи на повторение. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 5, страница 274.

Условие.

5. 1) а) Найдите корни уравнения $a^x = a^c$ $(a > 0, a \neq 1)$.

б) Решите неравенство $a^x > a^c$ (рассмотрите два случая: $0 < a < 1$ и $a > 1$).

2) Решите уравнение:

а) $27^x = 9^{\frac{1}{5}}$;

б) $9^{x+1} + 3^{x+2} = 18$;

в) $0,5^{x^2+x-2,5} = \sqrt{2}$;

г) $3^{x+2} - 3^x = 72$.

3) Решите неравенство:

а) $5^{x^2-1} > \frac{1}{5}$;

б) $0,2^{x^2-2} > 5$;

в) $3^x < \frac{1}{9}$;

г) $(\frac{1}{2})^{x+1} > 4$.

Решение 5.

1) а)

Показательная функция $y = a^x$ при $a > 0$ и $a \neq 1$ является монотонной. Это означает, что каждому значению аргумента $x$ соответствует единственное значение функции $y$, и наоборот. Следовательно, если равны значения функции $a^x$ и $a^c$, то должны быть равны и их аргументы (показатели степени).

$a^x = a^c \implies x = c$

Ответ: $x = c$

1) б)

Решение неравенства $a^x > a^c$ зависит от основания $a$.

1. Если $a > 1$, показательная функция $y = a^x$ является возрастающей. Это значит, что большему значению функции соответствует больший аргумент. Поэтому знак неравенства для показателей степеней сохраняется.

$a^x > a^c \implies x > c$

2. Если $0 < a < 1$, показательная функция $y = a^x$ является убывающей. Это значит, что большему значению функции соответствует меньший аргумент. Поэтому знак неравенства для показателей степеней меняется на противоположный.

$a^x > a^c \implies x < c$

Ответ: если $a > 1$, то $x > c$; если $0 < a < 1$, то $x < c$.

2) а)

Приведем обе части уравнения к основанию 3.

$27^x = (3^3)^x = 3^{3x}$

$9^{\frac{1}{5}} = (3^2)^{\frac{1}{5}} = 3^{\frac{2}{5}}$

Получаем уравнение:

$3^{3x} = 3^{\frac{2}{5}}$

Приравниваем показатели степеней:

$3x = \frac{2}{5}$

$x = \frac{2}{5 \cdot 3} = \frac{2}{15}$

Ответ: $x = \frac{2}{15}$

2) б)

Приведем все слагаемые к основанию 3.

$9^{x+1} = (3^2)^{x+1} = 3^{2(x+1)} = 3^{2x+2} = 3^{2x} \cdot 3^2 = 9 \cdot (3^x)^2$

$3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^x$

Подставим в исходное уравнение:

$9 \cdot (3^x)^2 + 9 \cdot 3^x = 18$

Разделим обе части на 9:

$(3^x)^2 + 3^x = 2$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

$t^2 + t - 2 = 0$

Решаем квадратное уравнение. Корни: $t_1 = 1$, $t_2 = -2$.

Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t > 0$.

Возвращаемся к замене:

$3^x = 1$

$3^x = 3^0$

$x = 0$

Ответ: $x = 0$

2) в)

Приведем обе части уравнения к основанию 2.

$0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$

$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$

$(2^{-1})^{x^2 + x - 2,5} = 2^{\frac{1}{2}}$

$2^{-(x^2 + x - 2,5)} = 2^{0,5}$

$2^{-x^2 - x + 2,5} = 2^{0,5}$

Приравниваем показатели степеней:

$-x^2 - x + 2,5 = 0,5$

$-x^2 - x + 2 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

Решаем квадратное уравнение. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -2$

2) г)

Преобразуем левую часть уравнения:

$3^{x+2} - 3^x = 3^x \cdot 3^2 - 3^x = 9 \cdot 3^x - 3^x = 3^x(9 - 1) = 8 \cdot 3^x$

Подставим в уравнение:

$8 \cdot 3^x = 72$

$3^x = \frac{72}{8}$

$3^x = 9$

$3^x = 3^2$

$x = 2$

Ответ: $x = 2$

3) а)

Приведем правую часть к основанию 5.

$\frac{1}{5} = 5^{-1}$

Неравенство принимает вид:

$5^{x^2 - 1} > 5^{-1}$

Так как основание $5 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется.

$x^2 - 1 > -1$

$x^2 > 0$

Это неравенство верно для всех действительных чисел, кроме $x=0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

3) б)

Приведем обе части неравенства к основанию 5.

$0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$

$(5^{-1})^{x^2 - 2} > 5^1$

$5^{-(x^2 - 2)} > 5^1$

$5^{-x^2 + 2} > 5^1$

Так как основание $5 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется.

$-x^2 + 2 > 1$

$-x^2 > -1$

$x^2 < 1$

Решением этого неравенства является интервал $-1 < x < 1$.

Ответ: $x \in (-1; 1)$

3) в)

Приведем правую часть к основанию 3.

$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$

Неравенство принимает вид:

$3^x < 3^{-2}$

Так как основание $3 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется.

$x < -2$

Ответ: $x \in (-\infty; -2)$

3) г)

Приведем обе части неравенства к основанию $\frac{1}{2}$.

$4 = 2^2 = (\frac{1}{2})^{-2}$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{1}{2})^{x+1} > (\frac{1}{2})^{-2}$

Так как основание $0 < \frac{1}{2} < 1$, функция убывающая, поэтому знак неравенства для показателей меняется на противоположный.

$x+1 < -2$

$x < -3$

Ответ: $x \in (-\infty; -3)$