Номер 578, страница 268 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций - номер 578, страница 268.

Условие.

578. Одно тело имеет температуру 200°, а другое — 100°. Через 10 мин остывания этих тел на воздухе с температурой 0° первое тело остыло до температуры 100°, а второе — до 80°. Через сколько минут температуры тел сравняются?

(Температура тела $T(t)$ удовлетворяет уравнению $T'(t) = -k(T - T_1)$, где $T_1$ — температура окружающей среды.)

Решение 1.

Решение 5.

Процесс остывания тел описывается законом охлаждения Ньютона, который представлен в виде дифференциального уравнения: $T'(t) = -k(T - T_a)$, где $T(t)$ — температура тела в момент времени $t$, $T_a$ — температура окружающей среды, а $k$ — коэффициент остывания.

В условиях задачи температура окружающей среды $T_a = 0°$. Следовательно, уравнение принимает вид: $T'(t) = -kT$.

Решением этого дифференциального уравнения является функция $T(t) = T_0 e^{-kt}$, где $T_0$ — начальная температура тела при $t=0$.

Теперь определим параметры для каждого из двух тел.

Для первого тела

Начальная температура $T_{1,0} = 200°$. Закон остывания для него: $T_1(t) = 200 e^{-k_1 t}$. Из условия известно, что через 10 минут температура опустилась до $T_1(10) = 100°$. Подставив эти данные, найдем коэффициент $k_1$:

$100 = 200 e^{-10k_1} \implies 0.5 = e^{-10k_1}$

Взяв натуральный логарифм от обеих частей, получаем: $\ln(0.5) = -10k_1$, откуда $k_1 = \frac{-\ln(0.5)}{10} = \frac{\ln(2)}{10}$.

Для второго тела

Начальная температура $T_{2,0} = 100°$. Закон остывания для него: $T_2(t) = 100 e^{-k_2 t}$. Через 10 минут температура стала $T_2(10) = 80°$. Найдем коэффициент $k_2$:

$80 = 100 e^{-10k_2} \implies 0.8 = e^{-10k_2}$

Взяв натуральный логарифм, получаем: $\ln(0.8) = -10k_2$, откуда $k_2 = \frac{-\ln(0.8)}{10} = \frac{\ln(1/0.8)}{10} = \frac{\ln(1.25)}{10}$.

Поиск времени, когда температуры сравняются

Искомый момент времени $t$ — это момент, когда $T_1(t) = T_2(t)$. Приравняем функции температур:

$200 e^{-k_1 t} = 100 e^{-k_2 t}$

$2 e^{-k_1 t} = e^{-k_2 t}$

$2 = \frac{e^{-k_2 t}}{e^{-k_1 t}} = e^{(-k_2 + k_1)t} = e^{(k_1 - k_2)t}$

Чтобы найти $t$, снова возьмем натуральный логарифм от обеих частей:

$\ln(2) = (k_1 - k_2)t \implies t = \frac{\ln(2)}{k_1 - k_2}$

Подставим найденные значения коэффициентов $k_1$ и $k_2$:

$t = \frac{\ln(2)}{\frac{\ln(2)}{10} - \frac{\ln(1.25)}{10}} = \frac{\ln(2)}{\frac{1}{10}(\ln(2) - \ln(1.25))}$

Используя свойство разности логарифмов $\ln(a) - \ln(b) = \ln(a/b)$, получаем точное выражение для времени:

$t = \frac{10 \ln(2)}{\ln(2/1.25)} = \frac{10 \ln(2)}{\ln(1.6)}$

Вычислим приближенное значение, используя $\ln(2) \approx 0.6931$ и $\ln(1.6) \approx 0.4700$:

$t \approx 10 \cdot \frac{0.6931}{0.4700} \approx 14.75$ минут.

Ответ: Температуры тел сравняются через $10 \frac{\ln(2)}{\ln(1.6)}$ минут, что составляет приблизительно 14.75 минут.