Номер 577, страница 268 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 577, страница 268.

Условие.

577.-- Период полураспада радиоактивного вещества равен 1 ч.

Через сколько часов его количество уменьшится в 10 раз?

Вычислите, какая доля радия останется через 1000 лет, если период его полураспада равен 1550 лет.

Решение 1.

Решение 5.

Через сколько часов его количество уменьшится в 10 раз?

Для решения задачи используется формула закона радиоактивного распада: $N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T}$, где $N(t)$ — количество радиоактивного вещества в момент времени $t$, $N_0$ — начальное количество вещества, а $T$ — период полураспада.

В данной задаче период полураспада $T = 1$ час. Нам нужно найти время $t$, через которое количество вещества уменьшится в 10 раз, то есть $N(t) = \frac{N_0}{10}$.

Подставим известные значения в формулу: $\frac{N_0}{10} = N_0 \cdot 2^{-t/1}$

Разделим обе части уравнения на $N_0$, чтобы избавиться от начального количества: $\frac{1}{10} = 2^{-t}$ Это уравнение эквивалентно следующему: $10 = 2^t$

Чтобы найти $t$, прологарифмируем обе части уравнения. Можно использовать логарифм по любому основанию, например, по основанию 10 (десятичный логарифм, $\lg$): $\lg(10) = \lg(2^t)$

Используя свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$, получаем: $1 = t \cdot \lg(2)$

Отсюда выражаем $t$: $t = \frac{1}{\lg(2)}$ Подставляя приближенное значение $\lg(2) \approx 0.30103$, находим время: $t \approx \frac{1}{0.30103} \approx 3.3219$ часа. Ответ: количество вещества уменьшится в 10 раз примерно через 3.32 часа.

Вычислите, какая доля радия останется через 1000 лет, если период его полураспада равен 1550 лет.

Мы снова обращаемся к формуле закона радиоактивного распада: $N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T}$. В этом случае нам нужно найти долю оставшегося вещества, то есть отношение $\frac{N(t)}{N_0}$. $\frac{N(t)}{N_0} = 2^{-t/T}$

По условию задачи, прошедшее время $t = 1000$ лет, а период полураспада радия $T = 1550$ лет. Подставим эти значения в формулу для доли вещества: $\frac{N(t)}{N_0} = 2^{-1000/1550}$

Сначала упростим дробь в показателе степени: $\frac{1000}{1550} = \frac{100}{155} = \frac{20}{31}$

Теперь необходимо вычислить значение выражения $2^{-20/31}$: $2^{-20/31} \approx 2^{-0.64516} \approx 0.6394$ Таким образом, через 1000 лет сохранится примерно 63.94% от начального количества радия. Ответ: через 1000 лет останется доля радия, равная примерно 0.639.