Номер 573, страница 268 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций - номер 573, страница 268.

Условие.

573.- Напишите дифференциальное уравнение гармонического колебания:

a) $x = 2 \cos (2t - 1)$;

б) $x = 6,4 \cos (0,1t + \frac{\pi}{7})$;

в) $x = 4 \sin (3t - \frac{\pi}{4})$;

г) $x = 0,71 \sin (0,3t - 0,7)$.

Решение 1.

Решение 5.

Общее дифференциальное уравнение гармонических колебаний имеет вид: $x'' + \omega^2 x = 0$, где $x$ — смещение, $x''$ — вторая производная смещения по времени (ускорение), а $\omega$ — циклическая (круговая) частота колебаний.

Уравнение движения для гармонического колебания в общем виде записывается как $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$ или $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$, где $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, $t$ — время, $\phi_0$ — начальная фаза.

Для нахождения дифференциального уравнения для каждого случая необходимо определить циклическую частоту $\omega$ из данного уравнения движения и подставить ее в общее дифференциальное уравнение.

---

а)

Дано уравнение колебаний: $x = 2 \cos(2t - 1)$.

Из сравнения с общей формой $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$ видно, что циклическая частота $\omega$ (коэффициент при $t$) равна 2.

$\omega = 2$ рад/с.

Теперь подставим это значение в дифференциальное уравнение $x'' + \omega^2 x = 0$:

$x'' + 2^2 x = 0$

$x'' + 4x = 0$

Ответ: $x'' + 4x = 0$.

---

б)

Дано уравнение колебаний: $x = 6,4 \cos(0,1t + \frac{\pi}{7})$.

Из сравнения с общей формой $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$ находим циклическую частоту $\omega$:

$\omega = 0,1$ рад/с.

Подставляем значение $\omega$ в дифференциальное уравнение $x'' + \omega^2 x = 0$:

$x'' + (0,1)^2 x = 0$

$x'' + 0,01x = 0$

Ответ: $x'' + 0,01x = 0$.

---

в)

Дано уравнение колебаний: $x = 4 \sin(3t - \frac{\pi}{4})$.

Из сравнения с общей формой $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$ находим циклическую частоту $\omega$:

$\omega = 3$ рад/с.

Подставляем значение $\omega$ в дифференциальное уравнение $x'' + \omega^2 x = 0$:

$x'' + 3^2 x = 0$

$x'' + 9x = 0$

Ответ: $x'' + 9x = 0$.

---

г)

Дано уравнение колебаний: $x = 0,71 \sin(0,3t - 0,7)$.

Из сравнения с общей формой $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$ находим циклическую частоту $\omega$:

$\omega = 0,3$ рад/с.

Подставляем значение $\omega$ в дифференциальное уравнение $x'' + \omega^2 x = 0$:

$x'' + (0,3)^2 x = 0$

$x'' + 0,09x = 0$

Ответ: $x'' + 0,09x = 0$.