Номер 574, страница 268 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 574, страница 268.

Условие.

574. – Докажите, что сумма двух гармонических колебаний $x_1 (t) = A_1 \cos (\omega_1 t + \varphi_1)$ и $x_2 (t) = A_2 \cos (\omega_2 t + \varphi_2)$ будет периодической функцией тогда и только тогда, когда отношение частот есть рациональное число $r$, т. е. $\frac{\omega_1}{\omega_2}=r$.

Решение 1.

Решение 5.

Для доказательства утверждения «тогда и только тогда, когда» необходимо доказать два взаимно обратных утверждения: достаточность и необходимость. Рассматривается функция $x(t)$, представляющая собой сумму двух гармонических колебаний:

$x(t) = x_1(t) + x_2(t) = A_1 \cos(\omega_1 t + \phi_1) + A_2 \cos(\omega_2 t + \phi_2)$

Функция $f(t)$ называется периодической, если существует такое число $T > 0$ (период), что для любого $t$ из области определения выполняется равенство $f(t+T) = f(t)$.

Доказательство достаточности

В этой части мы докажем, что если отношение частот $\frac{\omega_1}{\omega_2}$ является рациональным числом, то функция $x(t)$ является периодической.

Пусть отношение частот рационально, то есть $\frac{\omega_1}{\omega_2} = r = \frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа (можно считать их натуральными и взаимно простыми). Из этого соотношения следует, что $q\omega_1 = p\omega_2$.

Периоды каждого из слагаемых-колебаний равны соответственно $T_1 = \frac{2\pi}{\omega_1}$ и $T_2 = \frac{2\pi}{\omega_2}$.

Для того чтобы сумма функций была периодической, достаточно, чтобы существовал общий период $T$, который был бы кратен периодам каждого из слагаемых. То есть, должны существовать такие целые числа $n_1$ и $n_2$, что $T = n_1 T_1 = n_2 T_2$.

Подставим выражения для $T_1$ и $T_2$:

$n_1 \frac{2\pi}{\omega_1} = n_2 \frac{2\pi}{\omega_2} \implies \frac{n_1}{n_2} = \frac{\omega_1}{\omega_2}$

По нашему условию, $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{p}{q}$. Следовательно, мы можем выбрать $n_1 = p$ и $n_2 = q$.

Таким образом, существует общий период $T = p T_1 = p \frac{2\pi}{\omega_1}$, который также равен $T = q T_2 = q \frac{2\pi}{\omega_2}$. Проверим равенство этих выражений, используя $q\omega_1 = p\omega_2$:

$p \frac{2\pi}{\omega_1} = p \frac{2\pi q}{p\omega_2} = q \frac{2\pi}{\omega_2}$

Равенство выполняется. Теперь проверим, является ли $x(t)$ периодической с периодом $T$:

$x(t+T) = A_1 \cos(\omega_1(t+T) + \phi_1) + A_2 \cos(\omega_2(t+T) + \phi_2)$

Рассмотрим аргументы косинусов отдельно:

$\omega_1(t+T) + \phi_1 = \omega_1 t + \omega_1 T + \phi_1 = \omega_1 t + \phi_1 + \omega_1 (p \frac{2\pi}{\omega_1}) = \omega_1 t + \phi_1 + 2\pi p$

$\omega_2(t+T) + \phi_2 = \omega_2 t + \omega_2 T + \phi_2 = \omega_2 t + \phi_2 + \omega_2 (q \frac{2\pi}{\omega_2}) = \omega_2 t + \phi_2 + 2\pi q$

Поскольку $p$ и $q$ — целые числа, а функция косинуса имеет период $2\pi$, то $\cos(\theta + 2\pi k) = \cos(\theta)$ для любого целого $k$. Следовательно:

$\cos(\omega_1 t + \phi_1 + 2\pi p) = \cos(\omega_1 t + \phi_1)$

$\cos(\omega_2 t + \phi_2 + 2\pi q) = \cos(\omega_2 t + \phi_2)$

Подставляя это обратно в выражение для $x(t+T)$, получаем:

$x(t+T) = A_1 \cos(\omega_1 t + \phi_1) + A_2 \cos(\omega_2 t + \phi_2) = x(t)$

Таким образом, функция $x(t)$ является периодической. Достаточность доказана.

Доказательство необходимости

В этой части мы докажем, что если функция $x(t)$ является периодической, то отношение частот $\frac{\omega_1}{\omega_2}$ является рациональным числом.

Пусть функция $x(t)$ является периодической с периодом $T > 0$. Это означает, что для всех $t$ выполняется равенство $x(t+T) = x(t)$.

$A_1 \cos(\omega_1(t+T) + \phi_1) + A_2 \cos(\omega_2(t+T) + \phi_2) = A_1 \cos(\omega_1 t + \phi_1) + A_2 \cos(\omega_2 t + \phi_2)$

Будем считать, что амплитуды $A_1, A_2$ не равны нулю, и частоты $\omega_1, \omega_2$ положительны. Если $\omega_1 = \omega_2$, то их отношение равно 1, что является рациональным числом, и утверждение выполнено. Рассмотрим случай $\omega_1 \neq \omega_2$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$A_1[\cos(\omega_1(t+T) + \phi_1) - \cos(\omega_1 t + \phi_1)] + A_2[\cos(\omega_2(t+T) + \phi_2) - \cos(\omega_2 t + \phi_2)] = 0$

Применим формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$A_1 \left[-2\sin\left(\omega_1 t + \phi_1 + \frac{\omega_1 T}{2}\right)\sin\left(\frac{\omega_1 T}{2}\right)\right] + A_2 \left[-2\sin\left(\omega_2 t + \phi_2 + \frac{\omega_2 T}{2}\right)\sin\left(\frac{\omega_2 T}{2}\right)\right] = 0$

Разделив на -2, получим:

$A_1 \sin\left(\frac{\omega_1 T}{2}\right) \sin\left(\omega_1 t + \phi_1 + \frac{\omega_1 T}{2}\right) + A_2 \sin\left(\frac{\omega_2 T}{2}\right) \sin\left(\omega_2 t + \phi_2 + \frac{\omega_2 T}{2}\right) = 0$

Это равенство должно выполняться для всех $t$. Функции $f_1(t) = \sin(\omega_1 t + \psi_1)$ и $f_2(t) = \sin(\omega_2 t + \psi_2)$ при $\omega_1 \neq \omega_2$ являются линейно независимыми. Это означает, что их линейная комбинация равна нулю для всех $t$ только в том случае, если коэффициенты при них равны нулю.

Следовательно, должны выполняться условия:

$A_1 \sin\left(\frac{\omega_1 T}{2}\right) = 0$

$A_2 \sin\left(\frac{\omega_2 T}{2}\right) = 0$

Поскольку мы предположили, что $A_1 \neq 0$ и $A_2 \neq 0$, то должны быть равны нулю синусы:

$\sin\left(\frac{\omega_1 T}{2}\right) = 0 \implies \frac{\omega_1 T}{2} = \pi n_1$ для некоторого целого $n_1$.

$\sin\left(\frac{\omega_2 T}{2}\right) = 0 \implies \frac{\omega_2 T}{2} = \pi n_2$ для некоторого целого $n_2$.

Так как $T>0$ и $\omega_1, \omega_2 > 0$, то $n_1$ и $n_2$ должны быть ненулевыми целыми числами.

Из этих двух равенств можно выразить период $T$:

$T = \frac{2\pi n_1}{\omega_1}$

$T = \frac{2\pi n_2}{\omega_2}$

Приравнивая эти выражения для $T$, получаем:

$\frac{2\pi n_1}{\omega_1} = \frac{2\pi n_2}{\omega_2}$

$\frac{n_1}{\omega_1} = \frac{n_2}{\omega_2} \implies \frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{n_1}{n_2}$

Поскольку $n_1$ и $n_2$ — ненулевые целые числа, их отношение $\frac{n_1}{n_2}$ является рациональным числом. Необходимость доказана.

Ответ: Доказано, что сумма двух гармонических колебаний $x(t) = A_1 \cos(\omega_1 t + \phi_1) + A_2 \cos(\omega_2 t + \phi_2)$ является периодической функцией тогда и только тогда, когда отношение их частот $\frac{\omega_1}{\omega_2}$ является рациональным числом.