Номер 4, страница 273 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Вопросы и задачи на повторение. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 4, страница 273.

Условие.

4. 1) Перечислите основные свойства показательной функции.

2) Постройте график функции:

а) $y = 4^x$;

б) $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$;

в) $y = 6^x$;

г) $y = \left(\frac{1}{6}\right)^x$.

3) Какое из чисел больше:

а) $2^{0,4}$ или $2^{\frac{\sqrt{2}}{3}}$ ;

б) $1,2^{-\sqrt{3}}$ или $1,2^{\sqrt{5}}$;

в) $\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{5}}$ или $\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{3}}$;

г) $0,3^{-\pi}$ или $0,3^{-3}$?

Решение 5.

1)

Основные свойства показательной функции $y = a^x$ (где основание $a > 0$ и $a \neq 1$):

• Область определения: множество всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: множество всех положительных действительных чисел, $E(f) = (0; +\infty)$.
• Точка пересечения с осью OY: график любой показательной функции проходит через точку $(0; 1)$, так как $a^0 = 1$.
• Пересечение с осью OX: график не пересекает ось OX, так как $a^x > 0$ при любых значениях $x$. Ось OX является горизонтальной асимптотой для графика.
• Монотонность:
  • Если $a > 1$, функция является строго возрастающей (то есть, если $x_1 < x_2$, то $a^{x_1} < a^{x_2}$).
  • Если $0 < a < 1$, функция является строго убывающей (то есть, если $x_1 < x_2$, то $a^{x_1} > a^{x_2}$).
• Четность: функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).
• Непрерывность и дифференцируемость: функция непрерывна и дифференцируема на всей своей области определения.

2)

Для построения графиков составим таблицы значений для каждой функции и опишем их поведение.

а) $y = 4^x$

Это показательная функция с основанием $a=4$, которое больше 1. Следовательно, функция возрастающая. График проходит через точку $(0, 1)$ и асимптотически приближается к оси OX при $x \to -\infty$.

$x$	-2	-1	0	1	2
$y$	$1/16$	$1/4$	1	4	16

б) $y = (\frac{1}{4})^x$

Это показательная функция с основанием $a=1/4$, которое меньше 1. Следовательно, функция убывающая. График является зеркальным отражением графика $y = 4^x$ относительно оси OY. Он также проходит через точку $(0, 1)$ и асимптотически приближается к оси OX при $x \to +\infty$.

$x$	-2	-1	0	1	2
$y$	16	4	1	$1/4$	$1/16$

в) $y = 6^x$

Это показательная функция с основанием $a=6 > 1$. Функция возрастающая, причем растет "круче", чем $y=4^x$ при $x>0$. График проходит через точку $(0, 1)$ и асимптотически приближается к оси OX при $x \to -\infty$.

$x$	-1	0	1	2
$y$	$1/6$	1	6	36

г) $y = (\frac{1}{6})^x$

Это показательная функция с основанием $a=1/6 < 1$. Функция убывающая, причем убывает "круче", чем $y=(1/4)^x$ при $x>0$. График проходит через точку $(0, 1)$ и асимптотически приближается к оси OX при $x \to +\infty$.

$x$	-2	-1	0	1
$y$	36	6	1	$1/6$

3)

а) Сравнить $2^{0.4}$ и $2^{\frac{\sqrt{2}}{3}}$.

Рассмотрим показательную функцию $y=2^x$. Так как основание $a = 2 > 1$, функция является возрастающей. Это значит, что большему значению показателя степени соответствует большее значение функции. Сравним показатели $0.4$ и $\frac{\sqrt{2}}{3}$. Представим $0.4 = \frac{2}{5}$. Чтобы сравнить $\frac{2}{5}$ и $\frac{\sqrt{2}}{3}$, возведем оба положительных числа в квадрат: $(\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25}$ и $(\frac{\sqrt{2}}{3})^2 = \frac{2}{9}$. Приведем дроби к общему знаменателю 225: $\frac{4}{25} = \frac{36}{225}$ и $\frac{2}{9} = \frac{50}{225}$. Так как $\frac{36}{225} < \frac{50}{225}$, то и $0.4 < \frac{\sqrt{2}}{3}$. Из-за возрастания функции $y=2^x$ следует, что $2^{0.4} < 2^{\frac{\sqrt{2}}{3}}$.

Ответ: $2^{\frac{\sqrt{2}}{3}}$ больше, чем $2^{0.4}$.

б) Сравнить $1.2^{-\sqrt{3}}$ и $1.2^{\sqrt{5}}$.

Функция $y = 1.2^x$ имеет основание $a = 1.2 > 1$, значит, она возрастающая. Сравним показатели степеней: $-\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$. Так как $-\sqrt{3} < 0$ и $\sqrt{5} > 0$, то очевидно, что $-\sqrt{3} < \sqrt{5}$. Поскольку функция возрастающая, большему показателю соответствует большее значение функции, следовательно, $1.2^{-\sqrt{3}} < 1.2^{\sqrt{5}}$.

Ответ: $1.2^{\sqrt{5}}$ больше, чем $1.2^{-\sqrt{3}}$.

в) Сравнить $(\frac{1}{2})^{\sqrt{5}}$ и $(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}}$.

Функция $y = (\frac{1}{2})^x$ имеет основание $a = \frac{1}{2}$, которое находится в интервале $(0; 1)$, значит, функция убывающая. Это означает, что большему показателю степени соответствует меньшее значение функции. Сравним показатели: $\sqrt{5}$ и $\sqrt{3}$. Так как $5 > 3$, то $\sqrt{5} > \sqrt{3}$. В силу убывания функции имеем: $(\frac{1}{2})^{\sqrt{5}} < (\frac{1}{2})^{\sqrt{3}}$.

Ответ: $(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}}$ больше, чем $(\frac{1}{2})^{\sqrt{5}}$.

г) Сравнить $0.3^{-\pi}$ и $0.3^{-3}$.

Функция $y = 0.3^x$ имеет основание $a = 0.3 < 1$, значит, она убывающая. Сравним показатели степеней: $-\pi$ и $-3$. Известно, что $\pi \approx 3.14159...$, следовательно, $\pi > 3$. Умножая обе части неравенства на $-1$, меняем знак неравенства: $-\pi < -3$. Так как функция убывающая, меньшему показателю соответствует большее значение функции. Таким образом, $0.3^{-\pi} > 0.3^{-3}$.

Ответ: $0.3^{-\pi}$ больше, чем $0.3^{-3}$.