Номер 564, страница 262 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 564, страница 262.

Условие.

564. Вычислите интеграл:

а) $\int_1^4 x^{\frac{5}{2}} dx;$

б) $\int_1^8 \frac{4}{x^3} dx;$

в) $\int_e^{e^2} 2x^{-1}dx;$

г) $\int_{16}^{81} 5x^{-\frac{1}{4}} dx.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{4} x^{\frac{5}{2}} dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.
Первообразная для степенной функции $x^n$ находится по формуле $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$.
В нашем случае $n = \frac{5}{2}$, поэтому первообразная $F(x) = \frac{x^{\frac{5}{2}+1}}{\frac{5}{2}+1} = \frac{x^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}} = \frac{2}{7}x^{\frac{7}{2}}$.
Теперь вычислим значение интеграла:
$\int_{1}^{4} x^{\frac{5}{2}} dx = \left. \frac{2}{7}x^{\frac{7}{2}} \right|_{1}^{4} = \frac{2}{7}(4^{\frac{7}{2}} - 1^{\frac{7}{2}})$.
Вычислим значения в пределах интегрирования:
$4^{\frac{7}{2}} = (\sqrt{4})^7 = 2^7 = 128$.
$1^{\frac{7}{2}} = 1$.
Подставляем значения: $\frac{2}{7}(128 - 1) = \frac{2}{7} \cdot 127 = \frac{254}{7}$.
Ответ: $\frac{254}{7}$.

б) Вычислим интеграл $\int_{1}^{8} \frac{4 dx}{x^{\frac{2}{3}}}$.
Сначала преобразуем подынтегральную функцию: $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} = 4x^{-\frac{2}{3}}$.
Интеграл принимает вид: $\int_{1}^{8} 4x^{-\frac{2}{3}} dx$.
Найдем первообразную, вынося константу за знак интеграла и используя формулу для степенной функции:
$F(x) = 4 \int x^{-\frac{2}{3}} dx = 4 \cdot \frac{x^{-\frac{2}{3}+1}}{-\frac{2}{3}+1} = 4 \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} = 12x^{\frac{1}{3}}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{1}^{8} 4x^{-\frac{2}{3}} dx = \left. 12x^{\frac{1}{3}} \right|_{1}^{8} = 12(8^{\frac{1}{3}} - 1^{\frac{1}{3}})$.
Вычислим значения:
$8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$.
$1^{\frac{1}{3}} = 1$.
Подставляем значения: $12(2-1) = 12 \cdot 1 = 12$.
Ответ: $12$.

в) Вычислим интеграл $\int_{e}^{e^2} 2x^{-1} dx$.
Преобразуем подынтегральную функцию: $2x^{-1} = \frac{2}{x}$.
Интеграл принимает вид: $\int_{e}^{e^2} \frac{2}{x} dx$.
Первообразная для функции $\frac{1}{x}$ — это натуральный логарифм $\ln|x|$. Таким образом, первообразная для $\frac{2}{x}$ равна $2\ln|x|$. Поскольку пределы интегрирования $e$ и $e^2$ положительны, модуль можно опустить: $F(x) = 2\ln(x)$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{e}^{e^2} \frac{2}{x} dx = \left. 2\ln(x) \right|_{e}^{e^2} = 2(\ln(e^2) - \ln(e))$.
Используя свойства логарифмов ($\ln(e^a) = a$ и $\ln(e) = 1$):
$\ln(e^2) = 2$.
$\ln(e) = 1$.
Подставляем значения: $2(2-1) = 2 \cdot 1 = 2$.
Ответ: $2$.

г) Вычислим интеграл $\int_{16}^{81} 5x^{\frac{1}{4}} dx$.
Найдем первообразную для $5x^{\frac{1}{4}}$:
$F(x) = 5 \int x^{\frac{1}{4}} dx = 5 \cdot \frac{x^{\frac{1}{4}+1}}{\frac{1}{4}+1} = 5 \cdot \frac{x^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} = 5 \cdot \frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}} = 4x^{\frac{5}{4}}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{16}^{81} 5x^{\frac{1}{4}} dx = \left. 4x^{\frac{5}{4}} \right|_{16}^{81} = 4(81^{\frac{5}{4}} - 16^{\frac{5}{4}})$.
Вычислим значения в пределах интегрирования:
$81^{\frac{5}{4}} = (\sqrt[4]{81})^5 = 3^5 = 243$.
$16^{\frac{5}{4}} = (\sqrt[4]{16})^5 = 2^5 = 32$.
Подставляем значения: $4(243 - 32) = 4 \cdot 211 = 844$.
Ответ: $844$.