Номер 553, страница 259 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций - номер 553, страница 259.

Условие.

553. - Вычислите интеграл:

а) $\int_{1}^{7} \frac{2dx}{x};$ б) $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{3-2x};$ В) $\int_{1}^{e} \frac{dx}{x};$ Г) $\int_{0}^{3} \frac{dx}{3x+1}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для вычисления определенного интеграла $\int_1^7 \frac{2dx}{x}$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.
Сначала вынесем константу за знак интеграла:
$\int_1^7 \frac{2dx}{x} = 2 \int_1^7 \frac{dx}{x}$
Первообразная для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ есть $F(x) = \ln|x|$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$2 \int_1^7 \frac{dx}{x} = 2 [\ln|x|]_1^7$
На отрезке интегрирования $[1, 7]$ значение $x$ положительно, поэтому $|x| = x$.
$2 [\ln x]_1^7 = 2 (\ln 7 - \ln 1)$
Так как $\ln 1 = 0$, получаем:
$2 (\ln 7 - 0) = 2 \ln 7$.
Ответ: $2 \ln 7$.

б) Вычислим интеграл $\int_{-1}^1 \frac{dx}{3-2x}$.
Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{3-2x}$. Это табличный интеграл вида $\int \frac{dx}{ax+b} = \frac{1}{a}\ln|ax+b|$. В нашем случае $a=-2, b=3$.
Таким образом, первообразная $F(x) = -\frac{1}{2}\ln|3-2x|$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{-1}^1 \frac{dx}{3-2x} = [-\frac{1}{2}\ln|3-2x|]_{-1}^1$
Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования:
$[-\frac{1}{2}\ln|3-2(1)|] - [-\frac{1}{2}\ln|3-2(-1)|] = -\frac{1}{2}\ln|3-2| - (-\frac{1}{2}\ln|3+2|)$
$ = -\frac{1}{2}\ln|1| + \frac{1}{2}\ln|5| = -\frac{1}{2}\ln 1 + \frac{1}{2}\ln 5$
Так как $\ln 1 = 0$, получаем:
$0 + \frac{1}{2}\ln 5 = \frac{1}{2}\ln 5$.
Ответ: $\frac{1}{2}\ln 5$.

в) Вычислим интеграл $\int_1^e \frac{dx}{x}$.
Первообразная для подынтегральной функции $f(x) = \frac{1}{x}$ есть $F(x) = \ln|x|$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_1^e \frac{dx}{x} = [\ln|x|]_1^e$
На отрезке интегрирования $[1, e]$ значение $x$ положительно, поэтому $|x|=x$.
$[\ln x]_1^e = \ln e - \ln 1$
По определению натурального логарифма $\ln e = 1$, а $\ln 1 = 0$.
$1 - 0 = 1$.
Ответ: $1$.

г) Вычислим интеграл $\int_0^3 \frac{dx}{3x+1}$.
Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{3x+1}$. Используем формулу для интеграла вида $\int \frac{dx}{ax+b} = \frac{1}{a}\ln|ax+b|$. В данном случае $a=3, b=1$.
Первообразная $F(x) = \frac{1}{3}\ln|3x+1|$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_0^3 \frac{dx}{3x+1} = [\frac{1}{3}\ln|3x+1|]_0^3$
Подставляем верхний и нижний пределы:
$[\frac{1}{3}\ln|3(3)+1|] - [\frac{1}{3}\ln|3(0)+1|] = \frac{1}{3}\ln|9+1| - \frac{1}{3}\ln|0+1|$
$= \frac{1}{3}\ln|10| - \frac{1}{3}\ln|1| = \frac{1}{3}\ln 10 - \frac{1}{3}\ln 1$
Так как $\ln 1 = 0$, получаем:
$\frac{1}{3}\ln 10 - 0 = \frac{1}{3}\ln 10$.
Ответ: $\frac{1}{3}\ln 10$.