Номер 549, страница 258 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций - номер 549, страница 258.

Условие.

Найдите производную каждой из функций (549—550).

549.

а) $y = \ln (2 + 3x);$

б) $y = \log_{0,3} x + \sin x;$

в) $y = \ln (1 + 5x);$

г) $y = \lg x - \cos x.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для нахождения производной функции $y = \ln(2 + 3x)$ используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Данная функция является композицией двух функций: внешней логарифмической функции $f(u) = \ln(u)$ и внутренней линейной функции $u(x) = 2 + 3x$.

Формула производной сложной функции: $y' = (f(u(x)))' = f'(u(x)) \cdot u'(x)$.

Сначала находим производные внешней и внутренней функций:

• Производная натурального логарифма: $(\ln u)' = \frac{1}{u}$.
• Производная внутренней функции: $(2 + 3x)' = (2)' + (3x)' = 0 + 3 = 3$.

Теперь подставляем найденные производные в формулу цепного правила:

$y' = (\ln(2 + 3x))' = \frac{1}{2 + 3x} \cdot (2 + 3x)' = \frac{1}{2 + 3x} \cdot 3 = \frac{3}{2 + 3x}$.

Ответ: $y' = \frac{3}{2 + 3x}$

б) Для нахождения производной функции $y = \log_{0.3} x + \sin x$ применяется правило дифференцирования суммы двух функций: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$.

Находим производную каждого слагаемого в отдельности:

• Производная логарифмической функции с основанием $a$ вычисляется по формуле $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$. В данном случае основание $a = 0.3$, следовательно:
  $(\log_{0.3} x)' = \frac{1}{x \ln 0.3}$.
• Производная тригонометрической функции синус: $(\sin x)' = \cos x$.

Складываем полученные производные:

$y' = (\log_{0.3} x)' + (\sin x)' = \frac{1}{x \ln 0.3} + \cos x$.

Ответ: $y' = \frac{1}{x \ln 0.3} + \cos x}$

в) Для нахождения производной функции $y = \ln(1 + 5x)$ применяется то же правило дифференцирования сложной функции, что и в пункте а). Здесь внешняя функция $f(u) = \ln(u)$, а внутренняя $u(x) = 1 + 5x$.

Находим производные:

• Производная внешней функции: $(\ln u)' = \frac{1}{u}$.
• Производная внутренней функции: $(1 + 5x)' = (1)' + (5x)' = 0 + 5 = 5$.

Применяем цепное правило, подставляя $u = 1 + 5x$ и $u' = 5$:

$y' = (\ln(1 + 5x))' = \frac{1}{1 + 5x} \cdot (1 + 5x)' = \frac{1}{1 + 5x} \cdot 5 = \frac{5}{1 + 5x}$.

Ответ: $y' = \frac{5}{1 + 5x}$

г) Для нахождения производной функции $y = \lg x - \cos x$ используется правило дифференцирования разности двух функций: $(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$.

Находим производную каждого члена функции:

• Функция $\lg x$ — это десятичный логарифм, то есть $\log_{10} x$. Его производная находится по формуле $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$ при $a=10$:
  $(\lg x)' = (\log_{10} x)' = \frac{1}{x \ln 10}$.
• Производная тригонометрической функции косинус: $(\cos x)' = -\sin x$.

Теперь вычитаем вторую производную из первой:

$y' = (\lg x)' - (\cos x)' = \frac{1}{x \ln 10} - (-\sin x) = \frac{1}{x \ln 10} + \sin x$.

Ответ: $y' = \frac{1}{x \ln 10} + \sin x}$