Номер 549, страница 258 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 549, страница 258.
№549 (с. 258)
Условие. №549 (с. 258)
скриншот условия

Найдите производную каждой из функций (549—550).
549.
а) $y = \ln (2 + 3x);$
б) $y = \log_{0,3} x + \sin x;$
в) $y = \ln (1 + 5x);$
г) $y = \lg x - \cos x.$
Решение 1. №549 (с. 258)

Решение 3. №549 (с. 258)


Решение 5. №549 (с. 258)
а) Для нахождения производной функции $y = \ln(2 + 3x)$ используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Данная функция является композицией двух функций: внешней логарифмической функции $f(u) = \ln(u)$ и внутренней линейной функции $u(x) = 2 + 3x$.
Формула производной сложной функции: $y' = (f(u(x)))' = f'(u(x)) \cdot u'(x)$.
Сначала находим производные внешней и внутренней функций:
- Производная натурального логарифма: $(\ln u)' = \frac{1}{u}$.
- Производная внутренней функции: $(2 + 3x)' = (2)' + (3x)' = 0 + 3 = 3$.
Теперь подставляем найденные производные в формулу цепного правила:
$y' = (\ln(2 + 3x))' = \frac{1}{2 + 3x} \cdot (2 + 3x)' = \frac{1}{2 + 3x} \cdot 3 = \frac{3}{2 + 3x}$.
Ответ: $y' = \frac{3}{2 + 3x}$
б) Для нахождения производной функции $y = \log_{0.3} x + \sin x$ применяется правило дифференцирования суммы двух функций: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$.
Находим производную каждого слагаемого в отдельности:
- Производная логарифмической функции с основанием $a$ вычисляется по формуле $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$. В данном случае основание $a = 0.3$, следовательно:
$(\log_{0.3} x)' = \frac{1}{x \ln 0.3}$. - Производная тригонометрической функции синус: $(\sin x)' = \cos x$.
Складываем полученные производные:
$y' = (\log_{0.3} x)' + (\sin x)' = \frac{1}{x \ln 0.3} + \cos x$.
Ответ: $y' = \frac{1}{x \ln 0.3} + \cos x}$
в) Для нахождения производной функции $y = \ln(1 + 5x)$ применяется то же правило дифференцирования сложной функции, что и в пункте а). Здесь внешняя функция $f(u) = \ln(u)$, а внутренняя $u(x) = 1 + 5x$.
Находим производные:
- Производная внешней функции: $(\ln u)' = \frac{1}{u}$.
- Производная внутренней функции: $(1 + 5x)' = (1)' + (5x)' = 0 + 5 = 5$.
Применяем цепное правило, подставляя $u = 1 + 5x$ и $u' = 5$:
$y' = (\ln(1 + 5x))' = \frac{1}{1 + 5x} \cdot (1 + 5x)' = \frac{1}{1 + 5x} \cdot 5 = \frac{5}{1 + 5x}$.
Ответ: $y' = \frac{5}{1 + 5x}$
г) Для нахождения производной функции $y = \lg x - \cos x$ используется правило дифференцирования разности двух функций: $(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$.
Находим производную каждого члена функции:
- Функция $\lg x$ — это десятичный логарифм, то есть $\log_{10} x$. Его производная находится по формуле $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$ при $a=10$:
$(\lg x)' = (\log_{10} x)' = \frac{1}{x \ln 10}$. - Производная тригонометрической функции косинус: $(\cos x)' = -\sin x$.
Теперь вычитаем вторую производную из первой:
$y' = (\lg x)' - (\cos x)' = \frac{1}{x \ln 10} - (-\sin x) = \frac{1}{x \ln 10} + \sin x$.
Ответ: $y' = \frac{1}{x \ln 10} + \sin x}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 549 расположенного на странице 258 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №549 (с. 258), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.