Номер 551, страница 258 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 551, страница 258.
№551 (с. 258)
Условие. №551 (с. 258)
скриншот условия

551. Найдите общий вид первообразных для функции:
a) $f(x) = \frac{3}{7x+1}$;
б) $f(x) = \frac{1}{x} - \frac{2}{x+5}$;
в) $f(x) = \frac{1}{x+2}$;
г) $f(x) = \frac{4}{x}$.
Решение 1. №551 (с. 258)

Решение 3. №551 (с. 258)

Решение 5. №551 (с. 258)
а)
Чтобы найти общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{3}{7x+1}$, необходимо вычислить неопределенный интеграл от этой функции. Общий вид первообразной $F(x)$ находится по формуле $F(x) = \int f(x) dx$.
$F(x) = \int \frac{3}{7x+1} dx$
Вынесем постоянный множитель 3 за знак интеграла:
$F(x) = 3 \int \frac{1}{7x+1} dx$
Для вычисления интеграла вида $\int \frac{1}{kx+b} dx$ используется стандартная формула, которая дает $\frac{1}{k}\ln|kx+b| + C$. В нашем случае $k=7$ и $b=1$.
Применяя эту формулу, получаем:
$F(x) = 3 \cdot \left(\frac{1}{7}\ln|7x+1|\right) + C = \frac{3}{7}\ln|7x+1| + C$
где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = \frac{3}{7}\ln|7x+1| + C$
б)
Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{1}{x} - \frac{2}{x+5}$. Для этого вычислим неопределенный интеграл от суммы функций, который равен сумме интегралов от этих функций.
$F(x) = \int \left(\frac{1}{x} - \frac{2}{x+5}\right) dx = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{2}{x+5} dx$
Вычислим каждый интеграл по отдельности:
Первый интеграл является табличным: $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|$.
Второй интеграл: $\int \frac{2}{x+5} dx = 2 \int \frac{1}{x+5} dx$. Здесь $k=1$, $b=5$, поэтому интеграл равен $2\ln|x+5|$.
Объединяя результаты и добавляя одну общую произвольную постоянную $C$, получаем:
$F(x) = \ln|x| - 2\ln|x+5| + C$
Ответ: $F(x) = \ln|x| - 2\ln|x+5| + C$
в)
Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{1}{x+2}$. Вычислим интеграл:
$F(x) = \int \frac{1}{x+2} dx$
Используем ту же формулу $\int \frac{1}{kx+b} dx = \frac{1}{k}\ln|kx+b| + C$. В данном случае $k=1$ и $b=2$.
$F(x) = \frac{1}{1}\ln|x+2| + C = \ln|x+2| + C$
где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = \ln|x+2| + C$
г)
Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{4}{x}$. Вычислим интеграл:
$F(x) = \int \frac{4}{x} dx$
Вынесем постоянный множитель 4 за знак интеграла:
$F(x) = 4 \int \frac{1}{x} dx$
Интеграл $\int \frac{1}{x} dx$ является табличным и равен $\ln|x|$.
Следовательно, общий вид первообразной:
$F(x) = 4\ln|x| + C$
где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = 4\ln|x| + C$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 551 расположенного на странице 258 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №551 (с. 258), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.