Номер 551, страница 258 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций - номер 551, страница 258.

Условие.

551. Найдите общий вид первообразных для функции:

a) $f(x) = \frac{3}{7x+1}$;

б) $f(x) = \frac{1}{x} - \frac{2}{x+5}$;

в) $f(x) = \frac{1}{x+2}$;

г) $f(x) = \frac{4}{x}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Чтобы найти общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{3}{7x+1}$, необходимо вычислить неопределенный интеграл от этой функции. Общий вид первообразной $F(x)$ находится по формуле $F(x) = \int f(x) dx$.

$F(x) = \int \frac{3}{7x+1} dx$

Вынесем постоянный множитель 3 за знак интеграла:

$F(x) = 3 \int \frac{1}{7x+1} dx$

Для вычисления интеграла вида $\int \frac{1}{kx+b} dx$ используется стандартная формула, которая дает $\frac{1}{k}\ln|kx+b| + C$. В нашем случае $k=7$ и $b=1$.

Применяя эту формулу, получаем:

$F(x) = 3 \cdot \left(\frac{1}{7}\ln|7x+1|\right) + C = \frac{3}{7}\ln|7x+1| + C$

где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \frac{3}{7}\ln|7x+1| + C$

б)

Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{1}{x} - \frac{2}{x+5}$. Для этого вычислим неопределенный интеграл от суммы функций, который равен сумме интегралов от этих функций.

$F(x) = \int \left(\frac{1}{x} - \frac{2}{x+5}\right) dx = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{2}{x+5} dx$

Вычислим каждый интеграл по отдельности:

Первый интеграл является табличным: $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|$.

Второй интеграл: $\int \frac{2}{x+5} dx = 2 \int \frac{1}{x+5} dx$. Здесь $k=1$, $b=5$, поэтому интеграл равен $2\ln|x+5|$.

Объединяя результаты и добавляя одну общую произвольную постоянную $C$, получаем:

$F(x) = \ln|x| - 2\ln|x+5| + C$

Ответ: $F(x) = \ln|x| - 2\ln|x+5| + C$

в)

Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{1}{x+2}$. Вычислим интеграл:

$F(x) = \int \frac{1}{x+2} dx$

Используем ту же формулу $\int \frac{1}{kx+b} dx = \frac{1}{k}\ln|kx+b| + C$. В данном случае $k=1$ и $b=2$.

$F(x) = \frac{1}{1}\ln|x+2| + C = \ln|x+2| + C$

где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \ln|x+2| + C$

г)

Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{4}{x}$. Вычислим интеграл:

$F(x) = \int \frac{4}{x} dx$

Вынесем постоянный множитель 4 за знак интеграла:

$F(x) = 4 \int \frac{1}{x} dx$

Интеграл $\int \frac{1}{x} dx$ является табличным и равен $\ln|x|$.

Следовательно, общий вид первообразной:

$F(x) = 4\ln|x| + C$

где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = 4\ln|x| + C$