Страница 259 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

553. - Вычислите интеграл:

а) $\int_{1}^{7} \frac{2dx}{x};$ б) $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{3-2x};$ В) $\int_{1}^{e} \frac{dx}{x};$ Г) $\int_{0}^{3} \frac{dx}{3x+1}.$

а) Для вычисления определенного интеграла $\int_1^7 \frac{2dx}{x}$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.
Сначала вынесем константу за знак интеграла:
$\int_1^7 \frac{2dx}{x} = 2 \int_1^7 \frac{dx}{x}$
Первообразная для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ есть $F(x) = \ln|x|$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$2 \int_1^7 \frac{dx}{x} = 2 [\ln|x|]_1^7$
На отрезке интегрирования $[1, 7]$ значение $x$ положительно, поэтому $|x| = x$.
$2 [\ln x]_1^7 = 2 (\ln 7 - \ln 1)$
Так как $\ln 1 = 0$, получаем:
$2 (\ln 7 - 0) = 2 \ln 7$.
Ответ: $2 \ln 7$.

б) Вычислим интеграл $\int_{-1}^1 \frac{dx}{3-2x}$.
Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{3-2x}$. Это табличный интеграл вида $\int \frac{dx}{ax+b} = \frac{1}{a}\ln|ax+b|$. В нашем случае $a=-2, b=3$.
Таким образом, первообразная $F(x) = -\frac{1}{2}\ln|3-2x|$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{-1}^1 \frac{dx}{3-2x} = [-\frac{1}{2}\ln|3-2x|]_{-1}^1$
Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования:
$[-\frac{1}{2}\ln|3-2(1)|] - [-\frac{1}{2}\ln|3-2(-1)|] = -\frac{1}{2}\ln|3-2| - (-\frac{1}{2}\ln|3+2|)$
$ = -\frac{1}{2}\ln|1| + \frac{1}{2}\ln|5| = -\frac{1}{2}\ln 1 + \frac{1}{2}\ln 5$
Так как $\ln 1 = 0$, получаем:
$0 + \frac{1}{2}\ln 5 = \frac{1}{2}\ln 5$.
Ответ: $\frac{1}{2}\ln 5$.

в) Вычислим интеграл $\int_1^e \frac{dx}{x}$.
Первообразная для подынтегральной функции $f(x) = \frac{1}{x}$ есть $F(x) = \ln|x|$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_1^e \frac{dx}{x} = [\ln|x|]_1^e$
На отрезке интегрирования $[1, e]$ значение $x$ положительно, поэтому $|x|=x$.
$[\ln x]_1^e = \ln e - \ln 1$
По определению натурального логарифма $\ln e = 1$, а $\ln 1 = 0$.
$1 - 0 = 1$.
Ответ: $1$.

г) Вычислим интеграл $\int_0^3 \frac{dx}{3x+1}$.
Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{3x+1}$. Используем формулу для интеграла вида $\int \frac{dx}{ax+b} = \frac{1}{a}\ln|ax+b|$. В данном случае $a=3, b=1$.
Первообразная $F(x) = \frac{1}{3}\ln|3x+1|$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_0^3 \frac{dx}{3x+1} = [\frac{1}{3}\ln|3x+1|]_0^3$
Подставляем верхний и нижний пределы:
$[\frac{1}{3}\ln|3(3)+1|] - [\frac{1}{3}\ln|3(0)+1|] = \frac{1}{3}\ln|9+1| - \frac{1}{3}\ln|0+1|$
$= \frac{1}{3}\ln|10| - \frac{1}{3}\ln|1| = \frac{1}{3}\ln 10 - \frac{1}{3}\ln 1$
Так как $\ln 1 = 0$, получаем:
$\frac{1}{3}\ln 10 - 0 = \frac{1}{3}\ln 10$.
Ответ: $\frac{1}{3}\ln 10$.

554.— Найдите производную функции:

а) $y = \frac{\ln(5 + 3x)}{x^2 + 1}$;

б) $y = \frac{\sqrt{x}}{\lg(1 - 2x)}$;

в) $y = \frac{x^2}{\ln 5x}$;

г) $y = \frac{\log_3 x^2}{x + 1}$.

а) $y = \frac{\ln(5+3x)}{x^2+1}$

Для нахождения производной данной функции, которая представляет собой частное двух функций $u(x) = \ln(5+3x)$ и $v(x) = x^2+1$, воспользуемся правилом дифференцирования частного: $y' = (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Сначала найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$.

Производная числителя $u(x) = \ln(5+3x)$ находится по правилу дифференцирования сложной функции: $u'(x) = (\ln(5+3x))' = \frac{1}{5+3x} \cdot (5+3x)' = \frac{1}{5+3x} \cdot 3 = \frac{3}{5+3x}$.

Производная знаменателя $v(x) = x^2+1$: $v'(x) = (x^2+1)' = 2x$.

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной частного: $y' = \frac{(\frac{3}{5+3x})(x^2+1) - (\ln(5+3x))(2x)}{(x^2+1)^2}$.

Упростим полученное выражение, приведя числитель к общему знаменателю: $y' = \frac{\frac{3(x^2+1)}{5+3x} - 2x\ln(5+3x)}{(x^2+1)^2} = \frac{3(x^2+1) - 2x(5+3x)\ln(5+3x)}{(5+3x)(x^2+1)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{3(x^2+1) - 2x(5+3x)\ln(5+3x)}{(5+3x)(x^2+1)^2}$.

б) $y = \frac{\sqrt{x}}{\lg(1-2x)}$

Это частное двух функций $u(x) = \sqrt{x}$ и $v(x) = \lg(1-2x)$. Используем правило дифференцирования частного: $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$.

Производная числителя $u(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$: $u'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Производная знаменателя $v(x) = \lg(1-2x)$. Это сложная функция, и $\lg(z)$ — это десятичный логарифм. Производная $(\lg z)' = \frac{1}{z\ln10}$. $v'(x) = (\lg(1-2x))' = \frac{1}{(1-2x)\ln10} \cdot (1-2x)' = \frac{1}{(1-2x)\ln10} \cdot (-2) = \frac{-2}{(1-2x)\ln10}$.

Подставляем в формулу производной частного: $y' = \frac{(\frac{1}{2\sqrt{x}})\lg(1-2x) - (\sqrt{x})(\frac{-2}{(1-2x)\ln10})}{(\lg(1-2x))^2} = \frac{\frac{\lg(1-2x)}{2\sqrt{x}} + \frac{2\sqrt{x}}{(1-2x)\ln10}}{\lg^2(1-2x)}$.

Приведем числитель к общему знаменателю $2\sqrt{x}(1-2x)\ln10$: $y' = \frac{\frac{\lg(1-2x)(1-2x)\ln10 + 2\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}(1-2x)\ln10}}{\lg^2(1-2x)}$. Так как $\lg(z)\ln10 = \ln(z)$, то $\lg(1-2x)\ln10 = \ln(1-2x)$. $y' = \frac{\frac{(1-2x)\ln(1-2x) + 4x}{2\sqrt{x}(1-2x)\ln10}}{\lg^2(1-2x)} = \frac{(1-2x)\ln(1-2x) + 4x}{2\sqrt{x}(1-2x)\ln10 \cdot \lg^2(1-2x)}$.

Ответ: $y' = \frac{(1-2x)\ln(1-2x) + 4x}{2\sqrt{x}(1-2x)\ln10 \cdot \lg^2(1-2x)}$.

в) $y = \frac{x^2}{\ln(5x)}$

Используем правило дифференцирования частного для функций $u(x) = x^2$ и $v(x) = \ln(5x)$. Формула: $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$.

Производная числителя $u(x) = x^2$: $u'(x) = (x^2)' = 2x$.

Производная знаменателя $v(x) = \ln(5x)$. Можно использовать свойство логарифма: $\ln(5x) = \ln 5 + \ln x$. $v'(x) = (\ln 5 + \ln x)' = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$. Или по правилу сложной функции: $v'(x) = \frac{1}{5x} \cdot (5x)' = \frac{5}{5x} = \frac{1}{x}$.

Подставляем производные в формулу: $y' = \frac{(2x)\ln(5x) - (x^2)(\frac{1}{x})}{(\ln(5x))^2}$.

Упрощаем выражение: $y' = \frac{2x\ln(5x) - x}{(\ln(5x))^2} = \frac{x(2\ln(5x) - 1)}{\ln^2(5x)}$.

Ответ: $y' = \frac{x(2\ln(5x) - 1)}{\ln^2(5x)}$.

г) $y = \frac{\log_3(x^2)}{x+1}$

Применяем правило дифференцирования частного для функций $u(x) = \log_3(x^2)$ и $v(x) = x+1$: $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$.

Производная числителя $u(x) = \log_3(x^2)$. Используем правило дифференцирования сложной функции. Производная $(\log_a z)' = \frac{1}{z\ln a}$. $u'(x) = (\log_3(x^2))' = \frac{1}{x^2\ln3} \cdot (x^2)' = \frac{1}{x^2\ln3} \cdot 2x = \frac{2}{x\ln3}$.

Производная знаменателя $v(x) = x+1$: $v'(x) = (x+1)' = 1$.

Подставляем найденные производные в формулу: $y' = \frac{(\frac{2}{x\ln3})(x+1) - (\log_3(x^2))(1)}{(x+1)^2}$.

Упростим выражение, избавившись от дроби в числителе: $y' = \frac{\frac{2(x+1)}{x\ln3} - \log_3(x^2)}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1) - x\ln3 \cdot \log_3(x^2)}{x\ln3(x+1)^2}$.

Используя формулу замены основания логарифма $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$, можно упростить член $x\ln3 \cdot \log_3(x^2)$: $x\ln3 \cdot \frac{\ln(x^2)}{\ln3} = x\ln(x^2)$. Тогда производная принимает вид: $y' = \frac{2(x+1) - x\ln(x^2)}{x\ln3(x+1)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{2(x+1) - x\ln(x^2)}{x\ln3(x+1)^2}$.

Исследуйте функцию на возрастание (убывание) и экстремумы (555–556).

555.— a) $f(x) = \sqrt{x} \ln x;$

б) $f(x) = \frac{\ln x}{x};$

в) $f(x) = 2x - \ln x;$

г) $f(x) = x \ln x.$

а)

Исследуем функцию $f(x) = \sqrt{x} \ln x$.

1. Область определения функции.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.
Следовательно, область определения функции $D(f) = (0, +\infty)$.

2. Находим производную функции.
Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = (\sqrt{x})' \ln x + \sqrt{x} (\ln x)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \ln x + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}$.

3. Находим критические точки.
Приравниваем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки: $f'(x) = 0$.
$\frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}} = 0$.
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Знаменатель $2\sqrt{x}$ не равен нулю в области определения.
$\ln x + 2 = 0 \Rightarrow \ln x = -2 \Rightarrow x = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$.
Это единственная критическая точка.

4. Определяем знаки производной на интервалах.
Критическая точка $x = e^{-2}$ делит область определения $(0, +\infty)$ на два интервала: $(0, e^{-2})$ и $(e^{-2}, +\infty)$.
- На интервале $(0, e^{-2})$, например, при $x = e^{-3}$: $f'(e^{-3}) = \frac{\ln(e^{-3}) + 2}{2\sqrt{e^{-3}}} = \frac{-3 + 2}{2e^{-3/2}} = \frac{-1}{2e^{-3/2}} < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(e^{-2}, +\infty)$, например, при $x = 1$: $f'(1) = \frac{\ln 1 + 2}{2\sqrt{1}} = \frac{0 + 2}{2} = 1 > 0$. Функция возрастает.

5. Определяем промежутки возрастания, убывания и экстремумы.
- Функция убывает на промежутке $(0, e^{-2}]$.
- Функция возрастает на промежутке $[e^{-2}, +\infty)$.
- В точке $x = e^{-2}$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.

6. Находим значение функции в точке экстремума.
$y_{min} = f(e^{-2}) = \sqrt{e^{-2}} \ln(e^{-2}) = e^{-1} \cdot (-2) = -\frac{2}{e}$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(0, e^{-2}]$ и возрастает на промежутке $[e^{-2}, +\infty)$; $x_{min} = e^{-2}$, $y_{min} = -2/e$.

б)

Исследуем функцию $f(x) = \frac{\ln x}{x}$.

1. Область определения функции.
$x > 0$ (из-за $\ln x$) и $x \neq 0$ (из-за знаменателя).
Область определения $D(f) = (0, +\infty)$.

2. Находим производную функции.
Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.

3. Находим критические точки.
$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{1 - \ln x}{x^2} = 0$.
$1 - \ln x = 0 \Rightarrow \ln x = 1 \Rightarrow x = e$.
Это единственная критическая точка.

4. Определяем знаки производной на интервалах.
Критическая точка $x = e$ делит область определения $(0, +\infty)$ на два интервала: $(0, e)$ и $(e, +\infty)$.
- На интервале $(0, e)$, например, при $x = 1$: $f'(1) = \frac{1 - \ln 1}{1^2} = \frac{1 - 0}{1} = 1 > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(e, +\infty)$, например, при $x = e^2$: $f'(e^2) = \frac{1 - \ln(e^2)}{(e^2)^2} = \frac{1 - 2}{e^4} = -\frac{1}{e^4} < 0$. Функция убывает.

5. Определяем промежутки возрастания, убывания и экстремумы.
- Функция возрастает на промежутке $(0, e]$.
- Функция убывает на промежутке $[e, +\infty)$.
- В точке $x = e$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума.

6. Находим значение функции в точке экстремума.
$y_{max} = f(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e}$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(0, e]$ и убывает на промежутке $[e, +\infty)$; $x_{max} = e$, $y_{max} = 1/e$.

в)

Исследуем функцию $f(x) = 2x - \ln x$.

1. Область определения функции.
$x > 0$ (из-за $\ln x$).
Область определения $D(f) = (0, +\infty)$.

2. Находим производную функции.
$f'(x) = (2x)' - (\ln x)' = 2 - \frac{1}{x} = \frac{2x - 1}{x}$.

3. Находим критические точки.
$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{2x - 1}{x} = 0$.
$2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
Это единственная критическая точка.

4. Определяем знаки производной на интервалах.
Критическая точка $x = 1/2$ делит область определения на интервалы $(0, 1/2)$ и $(1/2, +\infty)$.
- На интервале $(0, 1/2)$, например, при $x = 1/4$: $f'(1/4) = \frac{2(1/4) - 1}{1/4} = \frac{1/2 - 1}{1/4} = -2 < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(1/2, +\infty)$, например, при $x = 1$: $f'(1) = \frac{2(1) - 1}{1} = 1 > 0$. Функция возрастает.

5. Определяем промежутки возрастания, убывания и экстремумы.
- Функция убывает на промежутке $(0, 1/2]$.
- Функция возрастает на промежутке $[1/2, +\infty)$.
- В точке $x = 1/2$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.

6. Находим значение функции в точке экстремума.
$y_{min} = f(1/2) = 2 \cdot \frac{1}{2} - \ln(\frac{1}{2}) = 1 - (\ln 1 - \ln 2) = 1 + \ln 2$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(0, 1/2]$ и возрастает на промежутке $[1/2, +\infty)$; $x_{min} = 1/2$, $y_{min} = 1 + \ln 2$.

г)

Исследуем функцию $f(x) = x \ln x$.

1. Область определения функции.
$x > 0$ (из-за $\ln x$).
Область определения $D(f) = (0, +\infty)$.

2. Находим производную функции.
Используем правило дифференцирования произведения:
$f'(x) = (x)' \ln x + x (\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.

3. Находим критические точки.
$f'(x) = 0 \Rightarrow \ln x + 1 = 0$.
$\ln x = -1 \Rightarrow x = e^{-1} = \frac{1}{e}$.
Это единственная критическая точка.

4. Определяем знаки производной на интервалах.
Критическая точка $x = 1/e$ делит область определения на интервалы $(0, 1/e)$ и $(1/e, +\infty)$.
- На интервале $(0, 1/e)$, например, при $x = e^{-2}$: $f'(e^{-2}) = \ln(e^{-2}) + 1 = -2 + 1 = -1 < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(1/e, +\infty)$, например, при $x = 1$: $f'(1) = \ln 1 + 1 = 0 + 1 = 1 > 0$. Функция возрастает.

5. Определяем промежутки возрастания, убывания и экстремумы.
- Функция убывает на промежутке $(0, 1/e]$.
- Функция возрастает на промежутке $[1/e, +\infty)$.
- В точке $x = 1/e$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.

6. Находим значение функции в точке экстремума.
$y_{min} = f(1/e) = \frac{1}{e} \ln(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (-1) = -\frac{1}{e}$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(0, 1/e]$ и возрастает на промежутке $[1/e, +\infty)$; $x_{min} = 1/e$, $y_{min} = -1/e$.

556.-

а) $f(x) = x \ln^2 x$;

б) $f(x) = \frac{2x}{\lg x}$;

в) $f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}};

г) $f(x) = \frac{1}{x} + \ln x$.

а) $f(x) = x \ln^2 x$

Для нахождения производной данной функции воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \ln^2 x$.

Найдем производную $u'(x)$:
$u'(x) = (x)' = 1$.

Найдем производную $v'(x)$. Это сложная функция, поэтому применим правило цепочки $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.
Здесь внешняя функция $g(h) = h^2$, а внутренняя $h(x) = \ln x$.
Их производные: $g'(h) = 2h$ и $h'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Следовательно, $v'(x) = (\ln^2 x)' = 2 \ln x \cdot (\ln x)' = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \ln x}{x}$.

Теперь подставим найденные производные в формулу производной произведения:
$f'(x) = u'v + uv' = 1 \cdot \ln^2 x + x \cdot \frac{2 \ln x}{x}$

Упростим выражение:
$f'(x) = \ln^2 x + 2 \ln x$.
Можно вынести общий множитель $\ln x$ за скобки:
$f'(x) = \ln x (\ln x + 2)$.

Ответ: $f'(x) = \ln^2 x + 2 \ln x$.

б) $f(x) = \frac{2x}{\lg x}$

Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 2x$ и $v(x) = \lg x$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:
$u'(x) = (2x)' = 2$.
Производная десятичного логарифма $\lg x = \log_{10} x$ находится по формуле $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.
$v'(x) = (\lg x)' = \frac{1}{x \ln 10}$.

Подставим эти значения в формулу производной частного:
$f'(x) = \frac{(2x)' \cdot \lg x - 2x \cdot (\lg x)'}{(\lg x)^2} = \frac{2 \cdot \lg x - 2x \cdot \frac{1}{x \ln 10}}{\lg^2 x}$.

Упростим числитель:
$f'(x) = \frac{2 \lg x - \frac{2}{\ln 10}}{\lg^2 x}$.

Можно привести числитель к общему знаменателю и использовать свойство логарифмов $\ln x = \ln 10 \cdot \lg x$:
$f'(x) = \frac{\frac{2 \lg x \cdot \ln 10 - 2}{\ln 10}}{\lg^2 x} = \frac{2(\ln 10 \cdot \lg x - 1)}{\ln 10 \cdot \lg^2 x} = \frac{2(\ln x - 1)}{\ln 10 \cdot \lg^2 x}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{2 \lg x - \frac{2}{\ln 10}}{\lg^2 x}$ или в эквивалентной форме $f'(x) = \frac{2(\ln x - 1)}{\ln 10 \cdot \lg^2 x}$.

в) $f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$

Воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = \ln x$ и $v(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:
$u'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.
$v'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Подставим найденные производные в формулу:
$f'(x) = \frac{(\ln x)' \cdot \sqrt{x} - \ln x \cdot (\sqrt{x})'}{(\sqrt{x})^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot \sqrt{x} - \ln x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}$.

Упростим выражение в числителе:
$f'(x) = \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} - \frac{\ln x}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{\ln x}{2\sqrt{x}}}{x}$.
Приведем дроби в числителе к общему знаменателю $2\sqrt{x}$:
$f'(x) = \frac{\frac{2 - \ln x}{2\sqrt{x}}}{x}$.

Окончательно упростим "многоэтажную" дробь:
$f'(x) = \frac{2 - \ln x}{2x\sqrt{x}}$ или $f'(x) = \frac{2 - \ln x}{2x^{3/2}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{2 - \ln x}{2x\sqrt{x}}$.

г) $f(x) = \frac{1}{x} + \ln x$

Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы: $(u+v)' = u' + v'$.

Найдем производную каждого слагаемого по отдельности.

Производная первого слагаемого:
$(\frac{1}{x})' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Производная второго слагаемого:
$(\ln x)' = \frac{1}{x}$.

Сложим полученные производные:
$f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$.

Приведем к общему знаменателю для упрощения:
$f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{x}{x^2} = \frac{x-1}{x^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{x-1}{x^2}$.

557. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

a) $y = \frac{4}{x} + 2, y = 0, x = 2, x = 6;$

б) $y = -\frac{2}{x}, y = 0, x = -4, x = -1;$

в) $y = \frac{1}{2x}, y = 0, x = \frac{1}{4}, x = 2;$

г) $y = 3 - \frac{1}{x}, y = 0, x = -6, x = -3.$

Площадь фигуры (криволинейной трапеции), ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y = f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Во всех представленных задачах функции сохраняют знак на заданных промежутках.

а) $y = \frac{4}{x} + 2, y = 0, x = 2, x = 6$

Фигура ограничена графиком функции $f(x) = \frac{4}{x} + 2$, осью $Ox$ и прямыми $x=2$, $x=6$.

На отрезке $[2, 6]$ значение $x > 0$, следовательно, $\frac{4}{x} > 0$, и вся функция $f(x) = \frac{4}{x} + 2$ принимает положительные значения. Значит, площадь можно вычислить как определенный интеграл от $f(x)$ по отрезку $[2, 6]$.

$S = \int_{2}^{6} \left(\frac{4}{x} + 2\right) dx$

Находим первообразную для подынтегральной функции: $F(x) = 4\ln|x| + 2x$.

Вычисляем значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = [4\ln|x| + 2x] \Big|_{2}^{6} = (4\ln|6| + 2 \cdot 6) - (4\ln|2| + 2 \cdot 2)$

Поскольку на отрезке $[2, 6]$ $x > 0$, знак модуля можно опустить:

$S = (4\ln6 + 12) - (4\ln2 + 4) = 4\ln6 + 12 - 4\ln2 - 4 = 8 + 4(\ln6 - \ln2)$

Используя свойство логарифмов $\ln a - \ln b = \ln\frac{a}{b}$, получаем:

$S = 8 + 4\ln\frac{6}{2} = 8 + 4\ln3$

Ответ: $8 + 4\ln3$.

б) $y = -\frac{2}{x}, y = 0, x = -4, x = -1$

Фигура ограничена графиком функции $f(x) = -\frac{2}{x}$, осью $Ox$ и прямыми $x=-4$, $x=-1$.

На отрезке $[-4, -1]$ значение $x < 0$, следовательно, $\frac{2}{x} < 0$, а функция $f(x) = -\frac{2}{x}$ принимает положительные значения. Таким образом, площадь вычисляется как интеграл от $f(x)$ по отрезку $[-4, -1]$.

$S = \int_{-4}^{-1} \left(-\frac{2}{x}\right) dx$

Находим первообразную: $F(x) = -2\ln|x|$.

Вычисляем значение интеграла:

$S = [-2\ln|x|] \Big|_{-4}^{-1} = (-2\ln|-1|) - (-2\ln|-4|) = -2\ln1 - (-2\ln4)$

Так как $\ln1 = 0$, получаем:

$S = 0 + 2\ln4 = 2\ln(2^2) = 4\ln2$

Ответ: $2\ln4$ (или $4\ln2$).

в) $y = \frac{1}{2x}, y = 0, x = \frac{1}{4}, x = 2$

Фигура ограничена графиком функции $f(x) = \frac{1}{2x}$, осью $Ox$ и прямыми $x=\frac{1}{4}$, $x=2$.

На отрезке $[\frac{1}{4}, 2]$ значение $x > 0$, следовательно, функция $f(x) = \frac{1}{2x}$ положительна. Площадь вычисляется как интеграл:

$S = \int_{1/4}^{2} \frac{1}{2x} dx = \frac{1}{2}\int_{1/4}^{2} \frac{1}{x} dx$

Находим первообразную: $F(x) = \frac{1}{2}\ln|x|$.

Вычисляем значение интеграла:

$S = \left[\frac{1}{2}\ln|x|\right] \Big|_{1/4}^{2} = \frac{1}{2}\ln|2| - \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1}{4}\right|$

Поскольку на отрезке $[\frac{1}{4}, 2]$ $x > 0$, знак модуля можно опустить:

$S = \frac{1}{2}\ln2 - \frac{1}{2}\ln\frac{1}{4} = \frac{1}{2}\left(\ln2 - \ln\frac{1}{4}\right)$

Используя свойство логарифмов $\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$ и $\ln(1/a) = -\ln a$:

$S = \frac{1}{2}\left(\ln\frac{2}{1/4}\right) = \frac{1}{2}\ln(8) = \frac{1}{2}\ln(2^3) = \frac{3}{2}\ln2$

Ответ: $\frac{1}{2}\ln8$ (или $\frac{3}{2}\ln2$).

г) $y = 3 - \frac{1}{x}, y = 0, x = -6, x = -3$

Фигура ограничена графиком функции $f(x) = 3 - \frac{1}{x}$, осью $Ox$ и прямыми $x=-6$, $x=-3$.

На отрезке $[-6, -3]$ значение $x < 0$. Это значит, что $\frac{1}{x}$ является отрицательной величиной, а $-\frac{1}{x}$ — положительной. Таким образом, функция $f(x) = 3 - \frac{1}{x}$ принимает положительные значения (больше 3). Площадь вычисляется как интеграл:

$S = \int_{-6}^{-3} \left(3 - \frac{1}{x}\right) dx$

Находим первообразную: $F(x) = 3x - \ln|x|$.

Вычисляем значение интеграла:

$S = [3x - \ln|x|] \Big|_{-6}^{-3} = (3(-3) - \ln|-3|) - (3(-6) - \ln|-6|)$

$S = (-9 - \ln3) - (-18 - \ln6) = -9 - \ln3 + 18 + \ln6 = 9 + \ln6 - \ln3$

Используя свойство логарифмов $\ln a - \ln b = \ln\frac{a}{b}$:

$S = 9 + \ln\frac{6}{3} = 9 + \ln2$

Ответ: $9 + \ln2$.