Страница 250 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

532. a) $f(x) = -\frac{1}{x}$;

б) $f(x) = 2x^2 (x \geq 0)$;

в) $f(x) = \frac{x}{x+2}$;

г) $f(x) = \sqrt{x+1}$.

а) Для нахождения обратной функции к $f(x) = -\frac{1}{x}$, заменим $f(x)$ на $y$:$y = -\frac{1}{x}$.Теперь, чтобы найти обратную функцию, нужно поменять местами переменные $x$ и $y$ и затем выразить $y$ через $x$:$x = -\frac{1}{y}$.Умножим обе части уравнения на $y$ (при $y \neq 0$):$xy = -1$.Теперь разделим обе части на $x$ (при $x \neq 0$):$y = -\frac{1}{x}$.Таким образом, обратная функция $g(x)$ совпадает с исходной функцией. Область определения исходной функции $D(f)$ — это все действительные числа, кроме $0$, то есть $(-\infty; 0) \cup (0; \infty)$. Область значений $E(f)$ также $(-\infty; 0) \cup (0; \infty)$. Для обратной функции $g(x)$ её область определения $D(g)$ равна $E(f)$, а область значений $E(g)$ равна $D(f)$, что соответствует найденной функции.
Ответ: $g(x) = -\frac{1}{x}$.

б) Дана функция $f(x) = 2x^2$ с ограничением на область определения $x \ge 0$. Заменим $f(x)$ на $y$:$y = 2x^2$.Поменяем местами $x$ и $y$:$x = 2y^2$.Выразим $y$. Сначала разделим на 2:$y^2 = \frac{x}{2}$.Извлечем квадратный корень:$y = \pm\sqrt{\frac{x}{2}}$.Так как для исходной функции было задано условие $x \ge 0$, это означает, что область значений обратной функции должна быть $y \ge 0$. Следовательно, мы должны выбрать знак плюс.$y = \sqrt{\frac{x}{2}}$.Область определения исходной функции $D(f) = [0; \infty)$. Область значений $E(f) = [0; \infty)$, так как $x^2 \ge 0$.Область определения обратной функции $g(x) = \sqrt{\frac{x}{2}}$ должна быть $x \ge 0$, что совпадает с $E(f)$ и обеспечивает неотрицательность подкоренного выражения. Область значений $E(g) = [0; \infty)$, что совпадает с $D(f)$.
Ответ: $g(x) = \sqrt{\frac{x}{2}}$.

в) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x}{x+2}$. Заменим $f(x)$ на $y$:$y = \frac{x}{x+2}$.Поменяем местами $x$ и $y$:$x = \frac{y}{y+2}$.Теперь выразим $y$ через $x$. Умножим обе части на знаменатель $(y+2)$:$x(y+2) = y$.Раскроем скобки:$xy + 2x = y$.Сгруппируем члены, содержащие $y$:$xy - y = -2x$.Вынесем $y$ за скобку:$y(x-1) = -2x$.Разделим на $(x-1)$:$y = \frac{-2x}{x-1} = \frac{2x}{1-x}$.Область определения исходной функции $D(f): x \neq -2$. Область значений $E(f): y \neq 1$.Для обратной функции $g(x) = \frac{2x}{1-x}$, область определения $D(g): x \neq 1$, что соответствует $E(f)$. Область значений $E(g): y \neq -2$, что соответствует $D(f)$.
Ответ: $g(x) = \frac{2x}{1-x}$.

г) Дана функция $f(x) = \sqrt{x+1}$. Заменим $f(x)$ на $y$:$y = \sqrt{x+1}$.Поменяем местами $x$ и $y$:$x = \sqrt{y+1}$.Выразим $y$. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:$x^2 = y+1$.Отсюда получаем:$y = x^2-1$.Теперь определим области определения и значений. Для исходной функции $f(x) = \sqrt{x+1}$ область определения $D(f)$ задается условием $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. Таким образом, $D(f) = [-1; \infty)$. Область значений $E(f)$ для арифметического квадратного корня — это все неотрицательные числа, то есть $E(f) = [0; \infty)$.Для обратной функции $g(x) = x^2-1$ область определения $D(g)$ должна совпадать с областью значений $E(f)$, то есть $D(g) = [0; \infty)$. Область значений $E(g)$ должна совпадать с областью определения $D(f)$, то есть $E(g) = [-1; \infty)$. Таким образом, обратная функция задается формулой $g(x) = x^2-1$ при условии, что $x \ge 0$.
Ответ: $g(x) = x^2-1$, при $x \ge 0$.

533.— Постройте график функции, обратной к f:

а) $f(x) = 2x^3 + 1$;

б) $f(x) = (x + 1)^2$, $x \in (-\infty; -1];$

в) $f(x) = -2x^3 + 1$;

г) $f(x) = (x - 1)^2$, $x \in [1; \infty).$

а) Дана функция $f(x) = 2x^3 + 1$. Чтобы найти обратную к ней функцию, $f^{-1}(x)$, и построить ее график, выполним следующие шаги:
1. Обозначим $y = f(x)$, то есть $y = 2x^3 + 1$. Область определения $D(f)$ и область значений $E(f)$ этой функции — все действительные числа, то есть $(-\infty; +\infty)$.
2. Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = 2x^3 + 1$:
$y - 1 = 2x^3$
$x^3 = \frac{y-1}{2}$
$x = \sqrt[3]{\frac{y-1}{2}}$
3. Поменяем местами переменные $x$ и $y$, чтобы получить обратную функцию в стандартном виде. Получаем: $y = \sqrt[3]{\frac{x-1}{2}}$.
Таким образом, обратная функция $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\frac{x-1}{2}}$.
4. График обратной функции $f^{-1}(x)$ симметричен графику исходной функции $f(x)$ относительно прямой $y=x$. График $f(x)=2x^3+1$ — это кубическая парабола, растянутая в 2 раза вдоль оси OY и смещенная на 1 единицу вверх. Ее точка перегиба — $(0, 1)$. График обратной функции $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\frac{x-1}{2}}$ можно построить, отразив график $f(x)$ относительно прямой $y=x$. Это будет график функции кубического корня, смещенный на 1 единицу вправо по оси OX, с измененным масштабом. Его точка перегиба — $(1, 0)$.
Ответ: Обратная функция $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\frac{x-1}{2}}$. Ее график симметричен графику функции $f(x) = 2x^3+1$ относительно прямой $y=x$.

б) Дана функция $f(x) = (x+1)^2$ на промежутке $x \in (-\infty; -1]$.
1. Обозначим $y = (x+1)^2$. Область определения задана: $D(f) = (-\infty; -1]$. Найдем область значений. Так как $x \le -1$, то $x+1 \le 0$. При возведении в квадрат получаем $(x+1)^2 \ge 0$. Таким образом, область значений $E(f) = [0; +\infty)$.
2. Выразим $x$ через $y$:
$\sqrt{y} = |x+1|$.
Поскольку $x \in (-\infty; -1]$, то $x+1 \le 0$, и, следовательно, $|x+1| = -(x+1)$.
$\sqrt{y} = -(x+1)$
$x+1 = -\sqrt{y}$
$x = -\sqrt{y} - 1$
3. Поменяв местами $x$ и $y$, получаем обратную функцию: $y = -\sqrt{x} - 1$.
Итак, $f^{-1}(x) = -\sqrt{x} - 1$.
4. Область определения обратной функции — это область значений исходной: $D(f^{-1}) = [0; +\infty)$. Область значений обратной функции — это область определения исходной: $E(f^{-1}) = (-\infty; -1]$.
5. График исходной функции $f(x)$ — это левая ветвь параболы с вершиной в точке $(-1, 0)$. График обратной функции $f^{-1}(x)$ симметричен графику $f(x)$ относительно прямой $y=x$. Его можно построить, взяв график функции $y=\sqrt{x}$, отразив его симметрично относительно оси OX (получим $y=-\sqrt{x}$) и затем сместив на 1 единицу вниз. Это ветвь параболы, открывающейся влево, с началом в точке $(0, -1)$.
Ответ: Обратная функция $f^{-1}(x) = -\sqrt{x} - 1$. Ее график симметричен графику функции $f(x)=(x+1)^2$ на промежутке $x \in (-\infty; -1]$ относительно прямой $y=x$.

в) Дана функция $f(x) = -2x^3 + 1$.
1. Обозначим $y = -2x^3 + 1$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ и область значений $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Выразим $x$ через $y$:
$y - 1 = -2x^3$
$x^3 = \frac{y-1}{-2} = \frac{1-y}{2}$
$x = \sqrt[3]{\frac{1-y}{2}}$
3. Поменяв местами $x$ и $y$, получаем: $y = \sqrt[3]{\frac{1-x}{2}}$.
Итак, обратная функция $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\frac{1-x}{2}}$.
4. График обратной функции $f^{-1}(x)$ симметричен графику исходной функции $f(x)$ относительно прямой $y=x$. График $f(x)=-2x^3+1$ — это убывающая кубическая парабола с точкой перегиба в $(0, 1)$. График обратной функции $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\frac{1-x}{2}}$ можно построить, отразив график $f(x)$ относительно прямой $y=x$. Это также будет убывающая функция с точкой перегиба в $(1, 0)$.
Ответ: Обратная функция $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\frac{1-x}{2}}$. Ее график симметричен графику функции $f(x) = -2x^3+1$ относительно прямой $y=x$.

г) Дана функция $f(x) = (x-1)^2$ на промежутке $x \in [1; \infty)$.
1. Обозначим $y = (x-1)^2$. Область определения задана: $D(f) = [1; \infty)$. Найдем область значений. Так как $x \ge 1$, то $x-1 \ge 0$. При возведении в квадрат получаем $(x-1)^2 \ge 0$. Таким образом, область значений $E(f) = [0; +\infty)$.
2. Выразим $x$ через $y$:
$\sqrt{y} = |x-1|$.
Поскольку $x \in [1; \infty)$, то $x-1 \ge 0$, и, следовательно, $|x-1| = x-1$.
$\sqrt{y} = x-1$
$x = \sqrt{y} + 1$
3. Поменяв местами $x$ и $y$, получаем обратную функцию: $y = \sqrt{x} + 1$.
Итак, $f^{-1}(x) = \sqrt{x} + 1$.
4. Область определения обратной функции — это область значений исходной: $D(f^{-1}) = [0; +\infty)$. Область значений обратной функции — это область определения исходной: $E(f^{-1}) = [1; \infty)$.
5. График исходной функции $f(x)$ — это правая ветвь параболы с вершиной в точке $(1, 0)$. График обратной функции $f^{-1}(x)$ симметричен графику $f(x)$ относительно прямой $y=x$. Его можно построить, сместив стандартный график функции $y=\sqrt{x}$ на 1 единицу вверх. Это ветвь параболы, открывающейся вправо, с началом в точке $(0, 1)$.
Ответ: Обратная функция $f^{-1}(x) = \sqrt{x} + 1$. Ее график симметричен графику функции $f(x)=(x-1)^2$ на промежутке $x \in [1; \infty)$ относительно прямой $y=x$.

534. По графику функции f (рис. 141) найдите значения обратной к f функции g в точках -2, 1 и 3. Постройте график функции g, укажите ее область определения и область значений:

а) $f(x) = f_1(x)$;

б) $f(x) = f_2(x)$;

в) $f(x) = f_3(x)$;

г) $f(x) = f_4(x)$.

Рис. 141

Для решения задачи воспользуемся определением обратной функции. Если функция $y = f(x)$ обратима, и $g$ - ее обратная функция, то $g(y) = x$. График обратной функции $g(x)$ симметричен графику исходной функции $f(x)$ относительно прямой $y=x$. Область определения обратной функции $D(g)$ совпадает с областью значений исходной функции $E(f)$, а область значений $E(g)$ совпадает с областью определения $D(f)$.

График функции $f_1(x)$ состоит из двух отрезков, соединяющих точки $(-4, -2)$, $(0, 0)$ и $(4, 8)$.

1. Нахождение значений обратной функции $g_1(x)$:

• Для нахождения $g_1(-2)$ ищем $x$, при котором $f_1(x) = -2$. Из графика видно, что это происходит при $x = -4$. Следовательно, $g_1(-2) = -4$.
• Для нахождения $g_1(1)$ ищем $x$, при котором $f_1(x) = 1$. Эта точка лежит на отрезке, соединяющем $(0, 0)$ и $(4, 8)$. Уравнение этого отрезка: $y = 2x$. Решаем уравнение $2x = 1$, получаем $x = 0.5$. Следовательно, $g_1(1) = 0.5$.
• Для нахождения $g_1(3)$ ищем $x$, при котором $f_1(x) = 3$. Эта точка лежит на том же отрезке $y=2x$. Решаем уравнение $2x = 3$, получаем $x = 1.5$. Следовательно, $g_1(3) = 1.5$.

2. Построение графика $g_1(x)$:

График $g_1(x)$ симметричен графику $f_1(x)$ относительно прямой $y=x$. Ключевые точки графика $f_1(x)$: $(-4, -2)$, $(0, 0)$, $(4, 8)$. Соответствующие им точки на графике $g_1(x)$: $(-2, -4)$, $(0, 0)$, $(8, 4)$. Для построения графика $g_1(x)$ нужно отметить эти точки и соединить их отрезками.

3. Область определения и область значений $g_1(x)$:

Область определения $f_1(x)$: $D(f_1) = [-4, 4]$. Область значений $f_1(x)$: $E(f_1) = [-2, 8]$.
Следовательно, для обратной функции $g_1(x)$:

• Область определения: $D(g_1) = E(f_1) = [-2, 8]$.
• Область значений: $E(g_1) = D(f_1) = [-4, 4]$.

Ответ: $g_1(-2)=-4$, $g_1(1)=0.5$, $g_1(3)=1.5$. График $g_1(x)$ — ломаная, соединяющая точки $(-2,-4)$, $(0,0)$ и $(8,4)$. Область определения $D(g_1) = [-2, 8]$, область значений $E(g_1) = [-4, 4]$.

График функции $f_2(x)$ — это отрезок, соединяющий точки $(-4, 4)$ и $(3, -6)$.

1. Нахождение значений обратной функции $g_2(x)$:

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $(-4, 4)$ и $(3, -6)$.
Угловой коэффициент: $k = \frac{-6 - 4}{3 - (-4)} = -\frac{10}{7}$.
Уравнение прямой: $y - 4 = -\frac{10}{7}(x + 4)$, что равносильно $y = -\frac{10}{7}x - \frac{12}{7}$.

• Для нахождения $g_2(-2)$ решаем уравнение $f_2(x) = -2$: $-\frac{10}{7}x - \frac{12}{7} = -2 \implies -10x - 12 = -14 \implies 10x = 2 \implies x = 0.2$. Следовательно, $g_2(-2) = 0.2$.
• Для нахождения $g_2(1)$ решаем уравнение $f_2(x) = 1$: $-\frac{10}{7}x - \frac{12}{7} = 1 \implies -10x - 12 = 7 \implies 10x = -19 \implies x = -1.9$. Следовательно, $g_2(1) = -1.9$.
• Для нахождения $g_2(3)$ решаем уравнение $f_2(x) = 3$: $-\frac{10}{7}x - \frac{12}{7} = 3 \implies -10x - 12 = 21 \implies 10x = -33 \implies x = -3.3$. Следовательно, $g_2(3) = -3.3$.

2. Построение графика $g_2(x)$:

Ключевые точки графика $f_2(x)$: $(-4, 4)$ и $(3, -6)$. Соответствующие им точки на графике $g_2(x)$: $(4, -4)$ и $(-6, 3)$. График $g_2(x)$ — это отрезок, соединяющий эти две точки.

3. Область определения и область значений $g_2(x)$:

Область определения $f_2(x)$: $D(f_2) = [-4, 3]$. Область значений $f_2(x)$: $E(f_2) = [-6, 4]$.
Следовательно, для обратной функции $g_2(x)$:

• Область определения: $D(g_2) = E(f_2) = [-6, 4]$.
• Область значений: $E(g_2) = D(f_2) = [-4, 3]$.

Ответ: $g_2(-2)=0.2$, $g_2(1)=-1.9$, $g_2(3)=-3.3$. График $g_2(x)$ — отрезок, соединяющий точки $(-6,3)$ и $(4,-4)$. Область определения $D(g_2) = [-6, 4]$, область значений $E(g_2) = [-4, 3]$.

График функции $f_3(x)$ — это отрезок, соединяющий точки $(-3, -6)$ и $(5, 7)$.

1. Нахождение значений обратной функции $g_3(x)$:

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $(-3, -6)$ и $(5, 7)$.
Угловой коэффициент: $k = \frac{7 - (-6)}{5 - (-3)} = \frac{13}{8}$.
Уравнение прямой: $y - 7 = \frac{13}{8}(x - 5)$, что равносильно $y = \frac{13}{8}x - \frac{9}{8}$.

• Для нахождения $g_3(-2)$ решаем уравнение $f_3(x) = -2$: $\frac{13}{8}x - \frac{9}{8} = -2 \implies 13x - 9 = -16 \implies 13x = -7 \implies x = -7/13$. Следовательно, $g_3(-2) = -7/13$.
• Для нахождения $g_3(1)$ решаем уравнение $f_3(x) = 1$: $\frac{13}{8}x - \frac{9}{8} = 1 \implies 13x - 9 = 8 \implies 13x = 17 \implies x = 17/13$. Следовательно, $g_3(1) = 17/13$.
• Для нахождения $g_3(3)$ решаем уравнение $f_3(x) = 3$: $\frac{13}{8}x - \frac{9}{8} = 3 \implies 13x - 9 = 24 \implies 13x = 33 \implies x = 33/13$. Следовательно, $g_3(3) = 33/13$.

2. Построение графика $g_3(x)$:

Ключевые точки графика $f_3(x)$: $(-3, -6)$ и $(5, 7)$. Соответствующие им точки на графике $g_3(x)$: $(-6, -3)$ и $(7, 5)$. График $g_3(x)$ — это отрезок, соединяющий эти две точки.

3. Область определения и область значений $g_3(x)$:

Область определения $f_3(x)$: $D(f_3) = [-3, 5]$. Область значений $f_3(x)$: $E(f_3) = [-6, 7]$.
Следовательно, для обратной функции $g_3(x)$:

• Область определения: $D(g_3) = E(f_3) = [-6, 7]$.
• Область значений: $E(g_3) = D(f_3) = [-3, 5]$.

Ответ: $g_3(-2)=-7/13$, $g_3(1)=17/13$, $g_3(3)=33/13$. График $g_3(x)$ — отрезок, соединяющий точки $(-6,-3)$ и $(7,5)$. Область определения $D(g_3) = [-6, 7]$, область значений $E(g_3) = [-3, 5]$.

График функции $f_4(x)$ состоит из двух отрезков, соединяющих точки $(-3, 7)$, $(1, 1)$ и $(4, -3)$.

1. Нахождение значений обратной функции $g_4(x)$:

• Для нахождения $g_4(-2)$ ищем $x$, при котором $f_4(x) = -2$. Эта точка лежит на отрезке, соединяющем $(1, 1)$ и $(4, -3)$. Уравнение этого отрезка: $y - 1 = \frac{-3-1}{4-1}(x-1) \implies y-1 = -\frac{4}{3}(x-1) \implies y = -\frac{4}{3}x + \frac{7}{3}$. Решаем уравнение $-\frac{4}{3}x + \frac{7}{3} = -2 \implies -4x+7 = -6 \implies 4x = 13 \implies x = 13/4 = 3.25$. Следовательно, $g_4(-2) = 3.25$.
• Для нахождения $g_4(1)$ ищем $x$, при котором $f_4(x) = 1$. Из графика видно, что это точка "излома" $(1,1)$, т.е. $f_4(1) = 1$. Следовательно, $g_4(1) = 1$.
• Для нахождения $g_4(3)$ ищем $x$, при котором $f_4(x) = 3$. Эта точка лежит на отрезке, соединяющем $(-3, 7)$ и $(1, 1)$. Уравнение этого отрезка: $y - 1 = \frac{1-7}{1-(-3)}(x-1) \implies y-1 = -\frac{6}{4}(x-1) \implies y = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$. Решаем уравнение $-\frac{3}{2}x + \frac{5}{2} = 3 \implies -3x+5 = 6 \implies -3x = 1 \implies x = -1/3$. Следовательно, $g_4(3) = -1/3$.

2. Построение графика $g_4(x)$:

Ключевые точки графика $f_4(x)$: $(-3, 7)$, $(1, 1)$, $(4, -3)$. Соответствующие им точки на графике $g_4(x)$: $(7, -3)$, $(1, 1)$, $(-3, 4)$. Для построения графика $g_4(x)$ нужно отметить эти точки и соединить их отрезками в порядке возрастания абсциссы: от $(-3,4)$ к $(1,1)$ и от $(1,1)$ к $(7,-3)$.

3. Область определения и область значений $g_4(x)$:

Область определения $f_4(x)$: $D(f_4) = [-3, 4]$. Область значений $f_4(x)$: $E(f_4) = [-3, 7]$.
Следовательно, для обратной функции $g_4(x)$:

• Область определения: $D(g_4) = E(f_4) = [-3, 7]$.
• Область значений: $E(g_4) = D(f_4) = [-3, 4]$.

Ответ: $g_4(-2)=3.25$, $g_4(1)=1$, $g_4(3)=-1/3$. График $g_4(x)$ — ломаная, соединяющая точки $(-3,4)$, $(1,1)$ и $(7,-3)$. Область определения $D(g_4) = [-3, 7]$, область значений $E(g_4) = [-3, 4]$.