Страница 244 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

512.–

а) $9^x = 0,7$;

б) $0,3^x = 7$;

в) $2^x = 10$;

г) $10^x = \pi$.

а) Дано показательное уравнение $9^x = 0,7$. Чтобы найти неизвестную $x$, которая является показателем степени, необходимо воспользоваться определением логарифма. Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $a$ (где $a > 0, a \neq 1$) называется такой показатель степени $x$, что $a^x = b$. Это записывается как $x = \log_a b$. В данном уравнении основание $a=9$, а число $b=0,7$. Применяя определение логарифма, находим $x$.
Ответ: $x = \log_9 0,7$.

б) Дано показательное уравнение $0,3^x = 7$. По определению логарифма, решением уравнения вида $a^x = b$ является $x = \log_a b$. В данном случае основание $a=0,3$, а число $b=7$. Основание $0,3 > 0$ и $0,3 \neq 1$, число $7 > 0$, поэтому логарифм существует. Таким образом, показатель степени $x$ равен логарифму числа 7 по основанию 0,3.
Ответ: $x = \log_{0,3} 7$.

в) Дано показательное уравнение $2^x = 10$. Для нахождения $x$ воспользуемся определением логарифма. Если $a^x = b$, то $x = \log_a b$. В этом уравнении основание $a=2$, а число $b=10$. Следовательно, искомый показатель степени $x$ является логарифмом числа 10 по основанию 2.
Ответ: $x = \log_2 10$.

г) Дано показательное уравнение $10^x = \pi$. Решение этого уравнения находится по определению логарифма: $x = \log_{10} \pi$. Логарифм по основанию 10 имеет специальное обозначение и называется десятичным логарифмом: $\log_{10} b = \lg b$. Поэтому решение можно записать в более компактном виде, используя стандартное обозначение для десятичного логарифма.
Ответ: $x = \lg \pi$.

513.—

а) $\log_5 x = 2;$

б) $\log_{0,4} x = -1;$

в) $\log_9 x = -\frac{1}{2};$

г) $\lg x = 2.$

а) Чтобы решить уравнение $\log_5 x = 2$, воспользуемся основным определением логарифма. Равенство $\log_a b = c$ эквивалентно равенству $b = a^c$ (где $a > 0, a \neq 1, b > 0$). Применяя это определение к данному уравнению, мы получаем, что $x$ равен основанию логарифма (5), возведенному в степень, которой равен логарифм (2). Таким образом, $x = 5^2$. Вычисляем значение: $x = 25$.
Ответ: 25

б) В уравнении $\log_{0.4} x = -1$ действуем аналогично. По определению логарифма, оно эквивалентно уравнению $x = 0.4^{-1}$. Отрицательная степень означает, что нужно найти число, обратное основанию. То есть, $x = \frac{1}{0.4}$. Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, можно представить $0.4$ как обыкновенную дробь $\frac{4}{10}$, которая сокращается до $\frac{2}{5}$. Тогда $x = \frac{1}{2/5} = \frac{5}{2} = 2.5$.
Ответ: 2.5

в) Для решения уравнения $\log_9 x = -\frac{1}{2}$ снова используем определение логарифма. Получаем $x = 9^{-\frac{1}{2}}$. Отрицательная степень означает обратное число, а дробная степень $\frac{1}{2}$ означает квадратный корень. Таким образом, мы можем записать выражение как $x = \frac{1}{9^{\frac{1}{2}}}$. Так как $9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$, получаем $x = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

г) Запись $\lg x$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Следовательно, уравнение $\lg x = 2$ можно переписать в виде $\log_{10} x = 2$. Применяя определение логарифма, мы получаем $x = 10^2$. Выполняем возведение в степень: $x = 100$.
Ответ: 100

514. -

a) $\log_{\frac{1}{2}}(2x-4) = -2;$

б) $\log_{\pi}(x^2 + 2x + 3) = \log_{\pi} 6;$

в) $\log_{0.3}(5 + 2x) = 1;$

г) $\log_2(3 - x) = 0.$

а)

Дано логарифмическое уравнение $ \log_{\frac{1}{2}}(2x-4) = -2 $.

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$ 2x - 4 > 0 $

$ 2x > 4 $

$ x > 2 $

Теперь решим уравнение, используя основное логарифмическое тождество $ \log_a b = c \Leftrightarrow b = a^c $:

$ 2x - 4 = (\frac{1}{2})^{-2} $

Преобразуем правую часть:

$ (\frac{1}{2})^{-2} = (2^{-1})^{-2} = 2^{(-1) \cdot (-2)} = 2^2 = 4 $

Подставим полученное значение в уравнение:

$ 2x - 4 = 4 $

$ 2x = 8 $

$ x = 4 $

Полученный корень $ x=4 $ удовлетворяет условию ОДЗ ($ 4 > 2 $), следовательно, он является решением уравнения.

Ответ: $ 4 $

б)

Дано уравнение $ \log_{\pi}(x^2+2x+3) = \log_{\pi} 6 $.

Найдем ОДЗ. Выражение под знаком логарифма должно быть положительным:

$ x^2+2x+3 > 0 $

Рассмотрим квадратный трехчлен $ x^2+2x+3 $. Его дискриминант $ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 $.

Поскольку $ D < 0 $ и старший коэффициент $ a=1 > 0 $, парабола $ y = x^2+2x+3 $ целиком расположена выше оси абсцисс, то есть $ x^2+2x+3 > 0 $ для любого действительного $ x $. ОДЗ: $ x \in (-\infty, +\infty) $.

Так как основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их аргументы:

$ x^2+2x+3 = 6 $

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ x^2+2x-3 = 0 $

Решим это уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна $ -2 $, а их произведение равно $ -3 $. Корнями являются:

$ x_1 = 1 $, $ x_2 = -3 $

Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: $ -3; 1 $

в)

Дано уравнение $ \log_{0.3}(5+2x) = 1 $.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть больше нуля:

$ 5+2x > 0 $

$ 2x > -5 $

$ x > -2.5 $

Решим уравнение, используя определение логарифма:

$ 5+2x = 0.3^1 $

$ 5+2x = 0.3 $

$ 2x = 0.3 - 5 $

$ 2x = -4.7 $

$ x = \frac{-4.7}{2} $

$ x = -2.35 $

Проверим, входит ли корень в ОДЗ. Так как $ -2.35 > -2.5 $, корень является решением.

Ответ: $ -2.35 $

г)

Дано уравнение $ \log_{2}(3-x) = 0 $.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным:

$ 3-x > 0 $

$ 3 > x $ или $ x < 3 $

Решим уравнение по определению логарифма:

$ 3-x = 2^0 $

Так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, получаем:

$ 3-x = 1 $

$ x = 3-1 $

$ x = 2 $

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. Так как $ 2 < 3 $, корень подходит.

Ответ: $ 2 $

515. а) $0,2^{4 - x} = 3;$

б) $5^{x^2} = 7;$

В) $3^{2 - 3x} = 8;$

Г) $7^{2x} = 4.$

а)

Дано показательное уравнение $0.2^{4-x} = 3$.

Для решения этого уравнения воспользуемся определением логарифма. Если $a^y = b$, то $y = \log_a b$. В нашем случае $a=0.2$, $y=4-x$ и $b=3$.

Таким образом, показатель степени равен логарифму правой части по основанию левой части:

$4 - x = \log_{0.2}(3)$

Теперь выразим $x$:

$-x = \log_{0.2}(3) - 4$

$x = 4 - \log_{0.2}(3)$

Ответ можно упростить. Представим основание логарифма $0.2$ в виде дроби $\frac{1}{5}$ или степени $5^{-1}$.

Используем свойство логарифма $\log_{a^k}(b) = \frac{1}{k}\log_a(b)$:

$\log_{0.2}(3) = \log_{5^{-1}}(3) = \frac{1}{-1}\log_5(3) = -\log_5(3)$

Подставим полученное выражение обратно в формулу для $x$:

$x = 4 - (-\log_5(3)) = 4 + \log_5(3)$

Ответ: $x = 4 + \log_5(3)$

б)

Дано показательное уравнение $5^{x^2} = 7$.

По определению логарифма, показатель степени $x^2$ равен логарифму числа 7 по основанию 5.

$\log_5(5^{x^2}) = \log_5(7)$

$x^2 = \log_5(7)$

Чтобы найти $x$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как $5^1=5$ и $5^2=25$, то значение $\log_5(7)$ находится между 1 и 2, то есть является положительным числом. Следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

$x = \sqrt{\log_5(7)}$ и $x = -\sqrt{\log_5(7)}$

Это можно записать в компактном виде:

$x = \pm\sqrt{\log_5(7)}$

Ответ: $x = \pm\sqrt{\log_5(7)}$

в)

Дано показательное уравнение $3^{2-3x} = 8$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

$\log_3(3^{2-3x}) = \log_3(8)$

Используя свойство логарифма $\log_a(a^y)=y$, упростим левую часть:

$2 - 3x = \log_3(8)$

Выразим переменную $x$:

$-3x = \log_3(8) - 2$

$3x = 2 - \log_3(8)$

$x = \frac{2 - \log_3(8)}{3}$

Также можно упростить логарифм, представив $8$ как $2^3$ и используя свойство $\log_a(b^c) = c\log_a(b)$:

$\log_3(8) = \log_3(2^3) = 3\log_3(2)$

Подставив это в выражение для $x$, получим:

$x = \frac{2 - 3\log_3(2)}{3} = \frac{2}{3} - \log_3(2)$

Ответ: $x = \frac{2 - \log_3(8)}{3}$ (или в эквивалентной форме $x = \frac{2}{3} - \log_3(2)$)

г)

Дано показательное уравнение $7^{2x} = 4$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 7:

$\log_7(7^{2x}) = \log_7(4)$

Упростим левую часть уравнения:

$2x = \log_7(4)$

Выразим $x$, разделив обе части на 2:

$x = \frac{\log_7(4)}{2}$

Данный ответ можно упростить. Представим $4$ как $2^2$ и воспользуемся свойством степени логарифма:

$\log_7(4) = \log_7(2^2) = 2\log_7(2)$

Подставим это в наше решение:

$x = \frac{2\log_7(2)}{2} = \log_7(2)$

Ответ: $x = \log_7(2)$

Решите неравенства (516—517).

516.

a) $\log_3 x > 2;$

б) $\log_{0.5} x > -2;$

в) $\log_{0.7} x < 1;$

г) $\log_{2.5} x < 2.$

а) Решим неравенство $\log_3 x > 2$.
1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.
2. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с тем же основанием, что и в левой части: $2 = \log_3 3^2 = \log_3 9$.
3. Исходное неравенство можно переписать в виде: $\log_3 x > \log_3 9$.
4. Так как основание логарифма $a = 3$ больше 1, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется: $x > 9$.
5. Объединим полученное решение с ОДЗ. Система неравенств $\begin{cases} x > 9 \\ x > 0 \end{cases}$ имеет решение $x > 9$.
Ответ: $x \in (9, +\infty)$.

б) Решим неравенство $\log_{0.5} x > -2$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 0.5: $-2 = \log_{0.5} (0.5)^{-2} = \log_{0.5} (\frac{1}{2})^{-2} = \log_{0.5} 2^2 = \log_{0.5} 4$.
3. Неравенство принимает вид: $\log_{0.5} x > \log_{0.5} 4$.
4. Так как основание логарифма $a = 0.5$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $x < 4$.
5. Объединим полученное решение с ОДЗ. Система неравенств $\begin{cases} x < 4 \\ x > 0 \end{cases}$ имеет решение $0 < x < 4$.
Ответ: $x \in (0, 4)$.

в) Решим неравенство $\log_{0.7} x < 1$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 0.7: $1 = \log_{0.7} (0.7)^1 = \log_{0.7} 0.7$.
3. Неравенство принимает вид: $\log_{0.7} x < \log_{0.7} 0.7$.
4. Так как основание логарифма $a = 0.7$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $x > 0.7$.
5. Объединим полученное решение с ОДЗ. Система неравенств $\begin{cases} x > 0.7 \\ x > 0 \end{cases}$ имеет решение $x > 0.7$.
Ответ: $x \in (0.7, +\infty)$.

г) Решим неравенство $\log_{2.5} x < 2$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 2.5: $2 = \log_{2.5} (2.5)^2 = \log_{2.5} 6.25$.
3. Неравенство принимает вид: $\log_{2.5} x < \log_{2.5} 6.25$.
4. Так как основание логарифма $a = 2.5$ больше 1, логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к аргументам знак неравенства сохраняется: $x < 6.25$.
5. Объединим полученное решение с ОДЗ. Система неравенств $\begin{cases} x < 6.25 \\ x > 0 \end{cases}$ имеет решение $0 < x < 6.25$.
Ответ: $x \in (0, 6.25)$.

517.-

a) $\log_4 (x - 2) < 2;$

б) $\log_{\frac{1}{3}} (3 - 2x) > -1;$

в) $\log_5 (3x + 1) > 2;$

г) $\log_{\frac{1}{7}} (4x + 1) < -2.$

а) $\log_4(x - 2) < 2$
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:
$x - 2 > 0 \implies x > 2$.
2. Преобразуем правую часть неравенства. Представим число 2 в виде логарифма с основанием 4, используя свойство $b = \log_a(a^b)$:
$2 = \log_4(4^2) = \log_4(16)$.
3. Подставим полученное выражение в исходное неравенство:
$\log_4(x - 2) < \log_4(16)$.
4. Так как основание логарифма $a = 4 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, и при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:
$x - 2 < 16 \implies x < 18$.
5. Теперь необходимо найти пересечение полученного решения с ОДЗ: $x > 2$ и $x < 18$.
Это соответствует интервалу $(2, 18)$.
Ответ: $x \in (2, 18)$.

б) $\log_{\frac{1}{3}}(3 - 2x) > -1$
1. Найдем ОДЗ:
$3 - 2x > 0 \implies -2x > -3 \implies x < \frac{3}{2}$.
2. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{3}$:
$-1 = \log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^{-1}) = \log_{\frac{1}{3}}(3)$.
3. Подставим в исходное неравенство:
$\log_{\frac{1}{3}}(3 - 2x) > \log_{\frac{1}{3}}(3)$.
4. Так как основание логарифма $a = \frac{1}{3}$ находится в интервале $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это значит, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, и при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$3 - 2x < 3 \implies -2x < 0 \implies x > 0$.
5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $x < \frac{3}{2}$ и $x > 0$.
Это соответствует интервалу $(0, \frac{3}{2})$.
Ответ: $x \in (0; 1,5)$.

в) $\log_5(3x + 1) > 2$
1. Найдем ОДЗ:
$3x + 1 > 0 \implies 3x > -1 \implies x > -\frac{1}{3}$.
2. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 5:
$2 = \log_5(5^2) = \log_5(25)$.
3. Подставим в исходное неравенство:
$\log_5(3x + 1) > \log_5(25)$.
4. Так как основание логарифма $a = 5 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:
$3x + 1 > 25 \implies 3x > 24 \implies x > 8$.
5. Найдем пересечение решения с ОДЗ: $x > -\frac{1}{3}$ и $x > 8$.
Более сильным условием является $x > 8$.
Ответ: $x \in (8, +\infty)$.

г) $\log_{\frac{1}{7}}(4x + 1) < -2$
1. Найдем ОДЗ:
$4x + 1 > 0 \implies 4x > -1 \implies x > -\frac{1}{4}$.
2. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{7}$:
$-2 = \log_{\frac{1}{7}}((\frac{1}{7})^{-2}) = \log_{\frac{1}{7}}(7^2) = \log_{\frac{1}{7}}(49)$.
3. Подставим в исходное неравенство:
$\log_{\frac{1}{7}}(4x + 1) < \log_{\frac{1}{7}}(49)$.
4. Так как основание логарифма $a = \frac{1}{7}$ находится в интервале $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$4x + 1 > 49 \implies 4x > 48 \implies x > 12$.
5. Найдем пересечение решения с ОДЗ: $x > -\frac{1}{4}$ и $x > 12$.
Более сильным условием является $x > 12$.
Ответ: $x \in (12, +\infty)$.

Решите уравнения (518—520).

518.-

a) $ \log_a x = 2 \log_a 3 + \log_a 5; $

б) $ \lg (x - 9) + \lg (2x - 1) = 2; $

в) $ \log_a x = \log_a 10 - \log_a 2; $

г) $ \log_3 (x + 1) + \log_3 (x + 3) = 1. $

а) $log_{a}x = 2log_{a}3 + log_{a}5$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x > 0$, а также основание логарифма $a > 0$ и $a \ne 1$.

Преобразуем правую часть уравнения, используя свойства логарифмов:

1. Используем свойство степени логарифма $n \cdot log_{b}m = log_{b}(m^n)$:

$2log_{a}3 = log_{a}(3^2) = log_{a}9$

2. Используем свойство суммы логарифмов $log_{b}m + log_{b}n = log_{b}(m \cdot n)$:

$log_{a}9 + log_{a}5 = log_{a}(9 \cdot 5) = log_{a}45$

Теперь уравнение имеет вид:

$log_{a}x = log_{a}45$

Поскольку основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их аргументы:

$x = 45$

Полученное значение $x = 45$ удовлетворяет ОДЗ ($45 > 0$).

Ответ: 45

б) $lg(x - 9) + lg(2x - 1) = 2$

Данное уравнение содержит десятичные логарифмы ($lg$ - это $log_{10}$). Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x - 9 > 0 \\ 2x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 9 \\ x > 0.5 \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 9$.

Используем свойство суммы логарифмов:

$lg((x-9)(2x-1)) = 2$

По определению логарифма ($log_{b}a = c \iff a=b^c$), переходим к показательному уравнению:

$(x-9)(2x-1) = 10^2$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$2x^2 - x - 18x + 9 = 100$

$2x^2 - 19x + 9 - 100 = 0$

$2x^2 - 19x - 91 = 0$

Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-91) = 361 + 728 = 1089 = 33^2$.

Находим корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 + 33}{4} = \frac{52}{4} = 13$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 - 33}{4} = \frac{-14}{4} = -3.5$

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 9$):

Корень $x_1 = 13$ удовлетворяет условию $13 > 9$.

Корень $x_2 = -3.5$ не удовлетворяет условию $x > 9$, следовательно, является посторонним.

Ответ: 13

в) $log_{a}x = log_{a}10 - log_{a}2$

ОДЗ: $x > 0$, $a > 0$, $a \ne 1$.

Используем свойство разности логарифмов $log_{b}m - log_{b}n = log_{b}(\frac{m}{n})$:

$log_{a}x = log_{a}(\frac{10}{2})$

$log_{a}x = log_{a}5$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$x = 5$

Значение $x = 5$ удовлетворяет ОДЗ ($5 > 0$).

Ответ: 5

г) $log_{3}(x+1) + log_{3}(x+3) = 1$

Найдем ОДЗ, исходя из того, что аргументы логарифмов должны быть положительными:

$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x > -3 \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $x > -1$.

Применяем свойство суммы логарифмов:

$log_{3}((x+1)(x+3)) = 1$

По определению логарифма:

$(x+1)(x+3) = 3^1$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$x^2 + 3x + x + 3 = 3$

$x^2 + 4x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x+4) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -4$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > -1$):

Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $0 > -1$.

Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию $x > -1$ и является посторонним.

Ответ: 0

519.-

a) $\frac{1}{2} \log_2 (x - 4) + \frac{1}{2} \log_2 (2x - 1) = \log_2 3;$

б) $\lg (3x^2 + 12x + 19) - \lg (3x + 4) = 1;$

в) $\lg (x^2 + 2x - 7) - \lg (x - 1) = 0;$

г) $\log_5 (x^2 + 8) - \log_5 (x + 1) = 3 \log_5 2.$

а) $\frac{1}{2}\log_2(x-4) + \frac{1}{2}\log_2(2x-1) = \log_2 3$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:
$x-4 > 0 \implies x > 4$
$2x-1 > 0 \implies x > \frac{1}{2}$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 4$.

Теперь решим уравнение. Умножим обе части уравнения на 2:
$\log_2(x-4) + \log_2(2x-1) = 2\log_2 3$

Используем свойства логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$ и $n\log_a b = \log_a(b^n)$:
$\log_2((x-4)(2x-1)) = \log_2(3^2)$
$\log_2(2x^2 - x - 8x + 4) = \log_2 9$
$\log_2(2x^2 - 9x + 4) = \log_2 9$

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:
$2x^2 - 9x + 4 = 9$
$2x^2 - 9x - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121 = 11^2$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 4$):
$x_1 = 5$ удовлетворяет условию $5 > 4$.
$x_2 = -0.5$ не удовлетворяет условию $-0.5 > 4$, это посторонний корень.
Следовательно, у уравнения один корень.
Ответ: 5

б) $\lg(3x^2 + 12x + 19) - \lg(3x + 4) = 1$

Найдём ОДЗ. Напомним, что $\lg$ - это логарифм по основанию 10.
1. $3x^2 + 12x + 19 > 0$. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = 12^2 - 4 \cdot 3 \cdot 19 = 144 - 228 = -84$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ (равный 3) положителен, выражение $3x^2 + 12x + 19$ всегда положительно при любом $x$.
2. $3x + 4 > 0 \implies 3x > -4 \implies x > -\frac{4}{3}$.
ОДЗ: $x > -\frac{4}{3}$.

Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$:
$\lg\left(\frac{3x^2 + 12x + 19}{3x + 4}\right) = 1$

По определению логарифма:
$\frac{3x^2 + 12x + 19}{3x + 4} = 10^1$
$3x^2 + 12x + 19 = 10(3x + 4)$
$3x^2 + 12x + 19 = 30x + 40$
$3x^2 - 18x - 21 = 0$

Разделим уравнение на 3 для упрощения:
$x^2 - 6x - 7 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 6$
$x_1 \cdot x_2 = -7$
Отсюда $x_1 = 7$, $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > -\frac{4}{3}$):
$x_1 = 7$ удовлетворяет условию $7 > -\frac{4}{3}$.
$x_2 = -1$ удовлетворяет условию $-1 > -\frac{4}{3}$.
Оба корня подходят.
Ответ: -1; 7

в) $\lg(x^2 + 2x - 7) - \lg(x - 1) = 0$

Найдём ОДЗ:
1. $x - 1 > 0 \implies x > 1$.
2. $x^2 + 2x - 7 > 0$. Найдем корни $x^2 + 2x - 7 = 0$: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4-4(-7)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{32}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{2}$. Неравенство выполняется при $x < -1 - 2\sqrt{2}$ или $x > -1 + 2\sqrt{2}$.
Совмещая оба условия ($x>1$ и $x > -1 + 2\sqrt{2} \approx 1.83$), получаем ОДЗ: $x > -1 + 2\sqrt{2}$.

Преобразуем уравнение:
$\lg(x^2 + 2x - 7) = \lg(x - 1)$

Приравниваем аргументы логарифмов:
$x^2 + 2x - 7 = x - 1$
$x^2 + x - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -1$
$x_1 \cdot x_2 = -6$
Отсюда $x_1 = 2$, $x_2 = -3$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > -1 + 2\sqrt{2}$):
$x_1 = 2$. Так как $2 > -1 + 2\sqrt{2} \approx 1.83$, этот корень подходит.
$x_2 = -3$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 2

г) $\log_5(x^2 + 8) - \log_5(x + 1) = 3\log_5 2$

Найдём ОДЗ:
1. $x^2 + 8 > 0$. Это выражение всегда положительно, так как $x^2 \ge 0$.
2. $x + 1 > 0 \implies x > -1$.
ОДЗ: $x > -1$.

Используем свойства логарифмов:
$\log_5\left(\frac{x^2 + 8}{x + 1}\right) = \log_5(2^3)$
$\log_5\left(\frac{x^2 + 8}{x + 1}\right) = \log_5 8$

Приравниваем аргументы логарифмов:
$\frac{x^2 + 8}{x + 1} = 8$
$x^2 + 8 = 8(x + 1)$
$x^2 + 8 = 8x + 8$
$x^2 - 8x = 0$

Решим неполное квадратное уравнение:
$x(x - 8) = 0$
$x_1 = 0$ или $x_2 = 8$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > -1$):
$x_1 = 0$ удовлетворяет условию $0 > -1$.
$x_2 = 8$ удовлетворяет условию $8 > -1$.
Оба корня подходят.
Ответ: 0; 8