Номер 515, страница 244 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 515, страница 244.

Условие.

515. а) $0,2^{4 - x} = 3;$

б) $5^{x^2} = 7;$

В) $3^{2 - 3x} = 8;$

Г) $7^{2x} = 4.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Дано показательное уравнение $0.2^{4-x} = 3$.

Для решения этого уравнения воспользуемся определением логарифма. Если $a^y = b$, то $y = \log_a b$. В нашем случае $a=0.2$, $y=4-x$ и $b=3$.

Таким образом, показатель степени равен логарифму правой части по основанию левой части:

$4 - x = \log_{0.2}(3)$

Теперь выразим $x$:

$-x = \log_{0.2}(3) - 4$

$x = 4 - \log_{0.2}(3)$

Ответ можно упростить. Представим основание логарифма $0.2$ в виде дроби $\frac{1}{5}$ или степени $5^{-1}$.

Используем свойство логарифма $\log_{a^k}(b) = \frac{1}{k}\log_a(b)$:

$\log_{0.2}(3) = \log_{5^{-1}}(3) = \frac{1}{-1}\log_5(3) = -\log_5(3)$

Подставим полученное выражение обратно в формулу для $x$:

$x = 4 - (-\log_5(3)) = 4 + \log_5(3)$

Ответ: $x = 4 + \log_5(3)$

б)

Дано показательное уравнение $5^{x^2} = 7$.

По определению логарифма, показатель степени $x^2$ равен логарифму числа 7 по основанию 5.

$\log_5(5^{x^2}) = \log_5(7)$

$x^2 = \log_5(7)$

Чтобы найти $x$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как $5^1=5$ и $5^2=25$, то значение $\log_5(7)$ находится между 1 и 2, то есть является положительным числом. Следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

$x = \sqrt{\log_5(7)}$ и $x = -\sqrt{\log_5(7)}$

Это можно записать в компактном виде:

$x = \pm\sqrt{\log_5(7)}$

Ответ: $x = \pm\sqrt{\log_5(7)}$

в)

Дано показательное уравнение $3^{2-3x} = 8$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

$\log_3(3^{2-3x}) = \log_3(8)$

Используя свойство логарифма $\log_a(a^y)=y$, упростим левую часть:

$2 - 3x = \log_3(8)$

Выразим переменную $x$:

$-3x = \log_3(8) - 2$

$3x = 2 - \log_3(8)$

$x = \frac{2 - \log_3(8)}{3}$

Также можно упростить логарифм, представив $8$ как $2^3$ и используя свойство $\log_a(b^c) = c\log_a(b)$:

$\log_3(8) = \log_3(2^3) = 3\log_3(2)$

Подставив это в выражение для $x$, получим:

$x = \frac{2 - 3\log_3(2)}{3} = \frac{2}{3} - \log_3(2)$

Ответ: $x = \frac{2 - \log_3(8)}{3}$ (или в эквивалентной форме $x = \frac{2}{3} - \log_3(2)$)

г)

Дано показательное уравнение $7^{2x} = 4$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 7:

$\log_7(7^{2x}) = \log_7(4)$

Упростим левую часть уравнения:

$2x = \log_7(4)$

Выразим $x$, разделив обе части на 2:

$x = \frac{\log_7(4)}{2}$

Данный ответ можно упростить. Представим $4$ как $2^2$ и воспользуемся свойством степени логарифма:

$\log_7(4) = \log_7(2^2) = 2\log_7(2)$

Подставим это в наше решение:

$x = \frac{2\log_7(2)}{2} = \log_7(2)$

Ответ: $x = \log_7(2)$