Номер 515, страница 244 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 515, страница 244.
№515 (с. 244)
Условие. №515 (с. 244)
скриншот условия

515. а) $0,2^{4 - x} = 3;$
б) $5^{x^2} = 7;$
В) $3^{2 - 3x} = 8;$
Г) $7^{2x} = 4.$
Решение 1. №515 (с. 244)

Решение 3. №515 (с. 244)

Решение 5. №515 (с. 244)
а)
Дано показательное уравнение $0.2^{4-x} = 3$.
Для решения этого уравнения воспользуемся определением логарифма. Если $a^y = b$, то $y = \log_a b$. В нашем случае $a=0.2$, $y=4-x$ и $b=3$.
Таким образом, показатель степени равен логарифму правой части по основанию левой части:
$4 - x = \log_{0.2}(3)$
Теперь выразим $x$:
$-x = \log_{0.2}(3) - 4$
$x = 4 - \log_{0.2}(3)$
Ответ можно упростить. Представим основание логарифма $0.2$ в виде дроби $\frac{1}{5}$ или степени $5^{-1}$.
Используем свойство логарифма $\log_{a^k}(b) = \frac{1}{k}\log_a(b)$:
$\log_{0.2}(3) = \log_{5^{-1}}(3) = \frac{1}{-1}\log_5(3) = -\log_5(3)$
Подставим полученное выражение обратно в формулу для $x$:
$x = 4 - (-\log_5(3)) = 4 + \log_5(3)$
Ответ: $x = 4 + \log_5(3)$
б)
Дано показательное уравнение $5^{x^2} = 7$.
По определению логарифма, показатель степени $x^2$ равен логарифму числа 7 по основанию 5.
$\log_5(5^{x^2}) = \log_5(7)$
$x^2 = \log_5(7)$
Чтобы найти $x$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как $5^1=5$ и $5^2=25$, то значение $\log_5(7)$ находится между 1 и 2, то есть является положительным числом. Следовательно, уравнение имеет два действительных корня.
$x = \sqrt{\log_5(7)}$ и $x = -\sqrt{\log_5(7)}$
Это можно записать в компактном виде:
$x = \pm\sqrt{\log_5(7)}$
Ответ: $x = \pm\sqrt{\log_5(7)}$
в)
Дано показательное уравнение $3^{2-3x} = 8$.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:
$\log_3(3^{2-3x}) = \log_3(8)$
Используя свойство логарифма $\log_a(a^y)=y$, упростим левую часть:
$2 - 3x = \log_3(8)$
Выразим переменную $x$:
$-3x = \log_3(8) - 2$
$3x = 2 - \log_3(8)$
$x = \frac{2 - \log_3(8)}{3}$
Также можно упростить логарифм, представив $8$ как $2^3$ и используя свойство $\log_a(b^c) = c\log_a(b)$:
$\log_3(8) = \log_3(2^3) = 3\log_3(2)$
Подставив это в выражение для $x$, получим:
$x = \frac{2 - 3\log_3(2)}{3} = \frac{2}{3} - \log_3(2)$
Ответ: $x = \frac{2 - \log_3(8)}{3}$ (или в эквивалентной форме $x = \frac{2}{3} - \log_3(2)$)
г)
Дано показательное уравнение $7^{2x} = 4$.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 7:
$\log_7(7^{2x}) = \log_7(4)$
Упростим левую часть уравнения:
$2x = \log_7(4)$
Выразим $x$, разделив обе части на 2:
$x = \frac{\log_7(4)}{2}$
Данный ответ можно упростить. Представим $4$ как $2^2$ и воспользуемся свойством степени логарифма:
$\log_7(4) = \log_7(2^2) = 2\log_7(2)$
Подставим это в наше решение:
$x = \frac{2\log_7(2)}{2} = \log_7(2)$
Ответ: $x = \log_7(2)$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 515 расположенного на странице 244 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №515 (с. 244), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.