Номер 520, страница 245 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 520, страница 245.

Условие.

520.—

a) $\log_4^2 x + \log_4 \sqrt{x} - 1,5 = 0;$

б) $\lg^2 x - \lg x^2 + 1 = 0;$

в) $\log_5^2 x - \log_5 x = 2;$

г) $\log_3^2 x - 2 \log_3 x - 3 = 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Дано уравнение $ \log_4^2 x + \log_4 \sqrt{x} - 1.5 = 0 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго положительным: $ x > 0 $.

Используя свойство логарифма $ \log_a b^c = c \log_a b $, преобразуем второе слагаемое:

$ \log_4 \sqrt{x} = \log_4 x^{1/2} = \frac{1}{2} \log_4 x $

Подставим это выражение обратно в исходное уравнение:

$ \log_4^2 x + \frac{1}{2} \log_4 x - 1.5 = 0 $

Это уравнение является квадратным относительно $ \log_4 x $. Введем замену: пусть $ t = \log_4 x $.

$ t^2 + \frac{1}{2} t - 1.5 = 0 $

Для удобства решения умножим все уравнение на 2:

$ 2t^2 + t - 3 = 0 $

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 $

$ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-1 \pm 5}{4} $

$ t_1 = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1 $

$ t_2 = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5 $

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного корня $t$:

1) При $ t = 1 $: $ \log_4 x = 1 \Rightarrow x = 4^1 = 4 $.

2) При $ t = -1.5 $: $ \log_4 x = -1.5 \Rightarrow x = 4^{-1.5} = 4^{-3/2} = (2^2)^{-3/2} = 2^{-3} = \frac{1}{8} $.

Оба полученных значения ($4$ и $1/8$) удовлетворяют ОДЗ ($ x > 0 $). Следовательно, они являются корнями исходного уравнения.

Ответ: $ x_1 = 4, x_2 = \frac{1}{8} $.

б)

Дано уравнение $ \lg^2 x - \lg x^2 + 1 = 0 $.

ОДЗ: $ x > 0 $, так как $ \lg x $ определен только для положительных $x$.

Используя свойство логарифма $ \log_a b^c = c \log_a b $ (что корректно при $x>0$), преобразуем $ \lg x^2 $:

$ \lg x^2 = 2 \lg x $

Подставим в уравнение:

$ \lg^2 x - 2 \lg x + 1 = 0 $

Введем замену: пусть $ t = \lg x $.

$ t^2 - 2t + 1 = 0 $

Это уравнение является полным квадратом:

$ (t - 1)^2 = 0 $

Отсюда следует, что $ t - 1 = 0 $, то есть $ t = 1 $.

Выполним обратную замену:

$ \lg x = 1 \Rightarrow x = 10^1 = 10 $.

Значение $ x = 10 $ удовлетворяет ОДЗ ($ x > 0 $).

Ответ: $ x = 10 $.

в)

Дано уравнение $ \log_5^2 x - \log_5 x = 2 $.

Перенесем все члены в левую часть:

$ \log_5^2 x - \log_5 x - 2 = 0 $

ОДЗ: $ x > 0 $.

Введем замену: пусть $ t = \log_5 x $. Уравнение примет вид:

$ t^2 - t - 2 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корни легко находятся: $ t_1 = 2 $ и $ t_2 = -1 $.

Выполним обратную замену:

1) При $ t = 2 $: $ \log_5 x = 2 \Rightarrow x = 5^2 = 25 $.

2) При $ t = -1 $: $ \log_5 x = -1 \Rightarrow x = 5^{-1} = \frac{1}{5} $.

Оба корня ($25$ и $1/5$) удовлетворяют ОДЗ ($ x > 0 $).

Ответ: $ x_1 = 25, x_2 = \frac{1}{5} $.

г)

Дано уравнение $ \log_3^2 x - 2 \log_3 x - 3 = 0 $.

ОДЗ: $ x > 0 $.

Введем замену: пусть $ t = \log_3 x $. Уравнение превращается в квадратное:

$ t^2 - 2t - 3 = 0 $

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Корни: $ t_1 = 3 $ и $ t_2 = -1 $.

Выполним обратную замену:

1) При $ t = 3 $: $ \log_3 x = 3 \Rightarrow x = 3^3 = 27 $.

2) При $ t = -1 $: $ \log_3 x = -1 \Rightarrow x = 3^{-1} = \frac{1}{3} $.

Оба корня ($27$ и $1/3$) удовлетворяют ОДЗ ($ x > 0 $).

Ответ: $ x_1 = 27, x_2 = \frac{1}{3} $.