Номер 520, страница 245 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 520, страница 245.
№520 (с. 245)
Условие. №520 (с. 245)
скриншот условия

520.—
a) $\log_4^2 x + \log_4 \sqrt{x} - 1,5 = 0;$
б) $\lg^2 x - \lg x^2 + 1 = 0;$
в) $\log_5^2 x - \log_5 x = 2;$
г) $\log_3^2 x - 2 \log_3 x - 3 = 0.$
Решение 1. №520 (с. 245)

Решение 3. №520 (с. 245)

Решение 5. №520 (с. 245)
а)
Дано уравнение $ \log_4^2 x + \log_4 \sqrt{x} - 1.5 = 0 $.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго положительным: $ x > 0 $.
Используя свойство логарифма $ \log_a b^c = c \log_a b $, преобразуем второе слагаемое:
$ \log_4 \sqrt{x} = \log_4 x^{1/2} = \frac{1}{2} \log_4 x $
Подставим это выражение обратно в исходное уравнение:
$ \log_4^2 x + \frac{1}{2} \log_4 x - 1.5 = 0 $
Это уравнение является квадратным относительно $ \log_4 x $. Введем замену: пусть $ t = \log_4 x $.
$ t^2 + \frac{1}{2} t - 1.5 = 0 $
Для удобства решения умножим все уравнение на 2:
$ 2t^2 + t - 3 = 0 $
Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 $
$ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-1 \pm 5}{4} $
$ t_1 = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1 $
$ t_2 = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5 $
Теперь выполним обратную замену для каждого найденного корня $t$:
1) При $ t = 1 $: $ \log_4 x = 1 \Rightarrow x = 4^1 = 4 $.
2) При $ t = -1.5 $: $ \log_4 x = -1.5 \Rightarrow x = 4^{-1.5} = 4^{-3/2} = (2^2)^{-3/2} = 2^{-3} = \frac{1}{8} $.
Оба полученных значения ($4$ и $1/8$) удовлетворяют ОДЗ ($ x > 0 $). Следовательно, они являются корнями исходного уравнения.
Ответ: $ x_1 = 4, x_2 = \frac{1}{8} $.
б)
Дано уравнение $ \lg^2 x - \lg x^2 + 1 = 0 $.
ОДЗ: $ x > 0 $, так как $ \lg x $ определен только для положительных $x$.
Используя свойство логарифма $ \log_a b^c = c \log_a b $ (что корректно при $x>0$), преобразуем $ \lg x^2 $:
$ \lg x^2 = 2 \lg x $
Подставим в уравнение:
$ \lg^2 x - 2 \lg x + 1 = 0 $
Введем замену: пусть $ t = \lg x $.
$ t^2 - 2t + 1 = 0 $
Это уравнение является полным квадратом:
$ (t - 1)^2 = 0 $
Отсюда следует, что $ t - 1 = 0 $, то есть $ t = 1 $.
Выполним обратную замену:
$ \lg x = 1 \Rightarrow x = 10^1 = 10 $.
Значение $ x = 10 $ удовлетворяет ОДЗ ($ x > 0 $).
Ответ: $ x = 10 $.
в)
Дано уравнение $ \log_5^2 x - \log_5 x = 2 $.
Перенесем все члены в левую часть:
$ \log_5^2 x - \log_5 x - 2 = 0 $
ОДЗ: $ x > 0 $.
Введем замену: пусть $ t = \log_5 x $. Уравнение примет вид:
$ t^2 - t - 2 = 0 $
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корни легко находятся: $ t_1 = 2 $ и $ t_2 = -1 $.
Выполним обратную замену:
1) При $ t = 2 $: $ \log_5 x = 2 \Rightarrow x = 5^2 = 25 $.
2) При $ t = -1 $: $ \log_5 x = -1 \Rightarrow x = 5^{-1} = \frac{1}{5} $.
Оба корня ($25$ и $1/5$) удовлетворяют ОДЗ ($ x > 0 $).
Ответ: $ x_1 = 25, x_2 = \frac{1}{5} $.
г)
Дано уравнение $ \log_3^2 x - 2 \log_3 x - 3 = 0 $.
ОДЗ: $ x > 0 $.
Введем замену: пусть $ t = \log_3 x $. Уравнение превращается в квадратное:
$ t^2 - 2t - 3 = 0 $
Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Корни: $ t_1 = 3 $ и $ t_2 = -1 $.
Выполним обратную замену:
1) При $ t = 3 $: $ \log_3 x = 3 \Rightarrow x = 3^3 = 27 $.
2) При $ t = -1 $: $ \log_3 x = -1 \Rightarrow x = 3^{-1} = \frac{1}{3} $.
Оба корня ($27$ и $1/3$) удовлетворяют ОДЗ ($ x > 0 $).
Ответ: $ x_1 = 27, x_2 = \frac{1}{3} $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 520 расположенного на странице 245 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №520 (с. 245), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.