Номер 525, страница 245 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 525, страница 245.

Условие.

Решите неравенства (525–528).

525. а) $ \lg (2x - 3) > \lg (x + 1) $;

б) $ \log_{0,3} (2x - 4) > \log_{0,3} (x + 1) $;

в) $ \lg (3x - 7) \le \lg (x + 1) $;

г) $ \log_{0,5} (4x - 7) < \log_{0,5} (x + 2) $.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $\lg(2x - 3) > \lg(x + 1)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 2x - 3 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x > 3 \\ x > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1.5 \\ x > -1 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > 1.5$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (1.5; +\infty)$.

2. Решим само неравенство. Так как основание десятичного логарифма $a = 10 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$2x - 3 > x + 1$

$2x - x > 1 + 3$

$x > 4$

3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x > 4 \\ x > 1.5 \end{cases}$

Решением системы является $x > 4$.

Ответ: $(4; +\infty)$

б) $\log_{0.3}(2x - 4) > \log_{0.3}(x + 1)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 2x - 4 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x > 4 \\ x > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > -1 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > 2$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (2; +\infty)$.

2. Решим неравенство. Так как основание логарифма $a = 0.3$, и $0 < 0.3 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$2x - 4 < x + 1$

$2x - x < 1 + 4$

$x < 5$

3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x < 5 \\ x > 2 \end{cases}$

Решением системы является интервал $2 < x < 5$.

Ответ: $(2; 5)$

в) $\lg(3x - 7) \le \lg(x + 1)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 3x - 7 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x > 7 \\ x > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{7}{3} \\ x > -1 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > \frac{7}{3}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (\frac{7}{3}; +\infty)$.

2. Решим неравенство. Так как основание логарифма $a = 10 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется:

$3x - 7 \le x + 1$

$3x - x \le 1 + 7$

$2x \le 8$

$x \le 4$

3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x \le 4 \\ x > \frac{7}{3} \end{cases}$

Решением системы является полуинтервал $\frac{7}{3} < x \le 4$.

Ответ: $(\frac{7}{3}; 4]$

г) $\log_{0.5}(4x - 7) < \log_{0.5}(x + 2)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 4x - 7 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 4x > 7 \\ x > -2 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{7}{4} \\ x > -2 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > \frac{7}{4}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (\frac{7}{4}; +\infty)$.

2. Решим неравенство. Так как основание логарифма $a = 0.5$, и $0 < 0.5 < 1$, функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$4x - 7 > x + 2$

$4x - x > 2 + 7$

$3x > 9$

$x > 3$

3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x > 3 \\ x > \frac{7}{4} \end{cases}$

Поскольку $3 > \frac{7}{4}$, решением системы является $x > 3$.

Ответ: $(3; +\infty)$