Страница 245 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

520.—

a) $\log_4^2 x + \log_4 \sqrt{x} - 1,5 = 0;$

б) $\lg^2 x - \lg x^2 + 1 = 0;$

в) $\log_5^2 x - \log_5 x = 2;$

г) $\log_3^2 x - 2 \log_3 x - 3 = 0.$

а)

Дано уравнение $ \log_4^2 x + \log_4 \sqrt{x} - 1.5 = 0 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго положительным: $ x > 0 $.

Используя свойство логарифма $ \log_a b^c = c \log_a b $, преобразуем второе слагаемое:

$ \log_4 \sqrt{x} = \log_4 x^{1/2} = \frac{1}{2} \log_4 x $

Подставим это выражение обратно в исходное уравнение:

$ \log_4^2 x + \frac{1}{2} \log_4 x - 1.5 = 0 $

Это уравнение является квадратным относительно $ \log_4 x $. Введем замену: пусть $ t = \log_4 x $.

$ t^2 + \frac{1}{2} t - 1.5 = 0 $

Для удобства решения умножим все уравнение на 2:

$ 2t^2 + t - 3 = 0 $

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 $

$ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-1 \pm 5}{4} $

$ t_1 = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1 $

$ t_2 = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5 $

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного корня $t$:

1) При $ t = 1 $: $ \log_4 x = 1 \Rightarrow x = 4^1 = 4 $.

2) При $ t = -1.5 $: $ \log_4 x = -1.5 \Rightarrow x = 4^{-1.5} = 4^{-3/2} = (2^2)^{-3/2} = 2^{-3} = \frac{1}{8} $.

Оба полученных значения ($4$ и $1/8$) удовлетворяют ОДЗ ($ x > 0 $). Следовательно, они являются корнями исходного уравнения.

Ответ: $ x_1 = 4, x_2 = \frac{1}{8} $.

б)

Дано уравнение $ \lg^2 x - \lg x^2 + 1 = 0 $.

ОДЗ: $ x > 0 $, так как $ \lg x $ определен только для положительных $x$.

Используя свойство логарифма $ \log_a b^c = c \log_a b $ (что корректно при $x>0$), преобразуем $ \lg x^2 $:

$ \lg x^2 = 2 \lg x $

Подставим в уравнение:

$ \lg^2 x - 2 \lg x + 1 = 0 $

Введем замену: пусть $ t = \lg x $.

$ t^2 - 2t + 1 = 0 $

Это уравнение является полным квадратом:

$ (t - 1)^2 = 0 $

Отсюда следует, что $ t - 1 = 0 $, то есть $ t = 1 $.

Выполним обратную замену:

$ \lg x = 1 \Rightarrow x = 10^1 = 10 $.

Значение $ x = 10 $ удовлетворяет ОДЗ ($ x > 0 $).

Ответ: $ x = 10 $.

в)

Дано уравнение $ \log_5^2 x - \log_5 x = 2 $.

Перенесем все члены в левую часть:

$ \log_5^2 x - \log_5 x - 2 = 0 $

ОДЗ: $ x > 0 $.

Введем замену: пусть $ t = \log_5 x $. Уравнение примет вид:

$ t^2 - t - 2 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корни легко находятся: $ t_1 = 2 $ и $ t_2 = -1 $.

Выполним обратную замену:

1) При $ t = 2 $: $ \log_5 x = 2 \Rightarrow x = 5^2 = 25 $.

2) При $ t = -1 $: $ \log_5 x = -1 \Rightarrow x = 5^{-1} = \frac{1}{5} $.

Оба корня ($25$ и $1/5$) удовлетворяют ОДЗ ($ x > 0 $).

Ответ: $ x_1 = 25, x_2 = \frac{1}{5} $.

г)

Дано уравнение $ \log_3^2 x - 2 \log_3 x - 3 = 0 $.

ОДЗ: $ x > 0 $.

Введем замену: пусть $ t = \log_3 x $. Уравнение превращается в квадратное:

$ t^2 - 2t - 3 = 0 $

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Корни: $ t_1 = 3 $ и $ t_2 = -1 $.

Выполним обратную замену:

1) При $ t = 3 $: $ \log_3 x = 3 \Rightarrow x = 3^3 = 27 $.

2) При $ t = -1 $: $ \log_3 x = -1 \Rightarrow x = 3^{-1} = \frac{1}{3} $.

Оба корня ($27$ и $1/3$) удовлетворяют ОДЗ ($ x > 0 $).

Ответ: $ x_1 = 27, x_2 = \frac{1}{3} $.

521. Решите систему уравнений:

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = 7, \\ \lg x + \lg y = 1; \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данной системы определяется условиями существования логарифмов: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\lg(xy) = 1$

Из определения десятичного логарифма следует:

$xy = 10^1 = 10$

Теперь система уравнений принимает более простой вид:

$\begin{cases} x + y = 7, \\ xy = 10. \end{cases}$

Эта система является классической. Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставив наши значения, получаем:

$t^2 - 7t + 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его корни легко находятся подбором: $t_1 = 2$ и $t_2 = 5$, так как $2+5=7$ и $2 \cdot 5=10$.

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(2, 5)$ и $(5, 2)$. Обе пары удовлетворяют ОДЗ ($x>0, y>0$).

Ответ: $(2, 5), (5, 2)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \log_4 (x+y) = 2, \\ \log_3 x + \log_3 y = 2 + \log_3 7; \end{cases}$

ОДЗ: $x > 0$, $y > 0$ и $x+y > 0$. Условия $x > 0$ и $y > 0$ автоматически обеспечивают выполнение $x+y > 0$.

Преобразуем первое уравнение по определению логарифма:

$x+y = 4^2 = 16$

Преобразуем второе уравнение. Используем свойство суммы логарифмов и представим число $2$ в виде логарифма по основанию 3: $2 = \log_3(3^2) = \log_3 9$.

$\log_3 x + \log_3 y = \log_3 9 + \log_3 7$

$\log_3(xy) = \log_3(9 \cdot 7)$

$\log_3(xy) = \log_3(63)$

Отсюда следует:

$xy = 63$

Получили систему:

$\begin{cases} x + y = 16, \\ xy = 63. \end{cases}$

По обратной теореме Виета, $x$ и $y$ — корни квадратного уравнения $t^2 - 16t + 63 = 0$.

Находим корни: $t_1 = 7$, $t_2 = 9$ (так как $7+9=16$ и $7 \cdot 9 = 63$).

Решениями системы являются пары $(7, 9)$ и $(9, 7)$. Обе пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(7, 9), (9, 7)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = 34, \\ \log_2 x + \log_2 y = 6; \end{cases}$

ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем второе уравнение с помощью свойства суммы логарифмов:

$\log_2(xy) = 6$

По определению логарифма:

$xy = 2^6 = 64$

Получаем систему:

$\begin{cases} x + y = 34, \\ xy = 64. \end{cases}$

По обратной теореме Виета, $x$ и $y$ — корни квадратного уравнения $t^2 - 34t + 64 = 0$.

Решим уравнение через дискриминант: $D = (-34)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 1156 - 256 = 900 = 30^2$.

$t = \frac{34 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{34 \pm 30}{2}$

$t_1 = \frac{34 + 30}{2} = 32$

$t_2 = \frac{34 - 30}{2} = 2$

Решениями системы являются пары $(32, 2)$ и $(2, 32)$. Обе пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(32, 2), (2, 32)$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \log_4 x - \log_4 y = 0, \\ x^2 - 5y^2 + 4 = 0. \end{cases}$

ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$:

$\log_4 \left(\frac{x}{y}\right) = 0$

По определению логарифма:

$\frac{x}{y} = 4^0 = 1$

Отсюда получаем $x=y$.

Подставим $x=y$ во второе уравнение системы:

$y^2 - 5y^2 + 4 = 0$

$-4y^2 = -4$

$y^2 = 1$

Учитывая ОДЗ ($y > 0$), получаем $y=1$.

Так как $x=y$, то $x=1$.

Таким образом, решение системы — пара $(1, 1)$. Проверим, что оно удовлетворяет ОДЗ (верно) и исходным уравнениям.

1) $\log_4 1 - \log_4 1 = 0 - 0 = 0$ (верно).

2) $1^2 - 5 \cdot 1^2 + 4 = 1 - 5 + 4 = 0$ (верно).

Ответ: $(1, 1)$.

Решите уравнения (522–524).

522. – а) $\frac{1}{\lg x + 1} + \frac{6}{\lg x + 5} = 1;$

б) $\log_2 \frac{x}{4} = \frac{15}{\log_2 \frac{x}{8} - 1};$

в) $\frac{2 \lg x}{\lg (5x - 4)} = 1;$

г) $\frac{1}{\lg x - 6} + \frac{5}{\lg x + 2} = 1.$

а) $\frac{1}{\lg x + 1} + \frac{6}{\lg x + 5} = 1$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):
1. Аргумент логарифма должен быть больше нуля: $x > 0$.
2. Знаменатели не должны быть равны нулю:
$\lg x + 1 \neq 0 \implies \lg x \neq -1 \implies x \neq 10^{-1} \implies x \neq 0.1$.
$\lg x + 5 \neq 0 \implies \lg x \neq -5 \implies x \neq 10^{-5}$.
Итак, ОДЗ: $x > 0, x \neq 0.1, x \neq 0.00001$.

Введем замену: пусть $t = \lg x$. Уравнение примет вид:
$\frac{1}{t + 1} + \frac{6}{t + 5} = 1$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{(t+5) + 6(t+1)}{(t+1)(t+5)} = 1$
$\frac{t+5+6t+6}{t^2+5t+t+5} = 1$
$\frac{7t+11}{t^2+6t+5} = 1$
$7t+11 = t^2+6t+5$
$t^2 - t - 6 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 1$
$t_1 \cdot t_2 = -6$
Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Выполним обратную замену:
1. $\lg x = 3 \implies x = 10^3 = 1000$.
2. $\lg x = -2 \implies x = 10^{-2} = 0.01$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1000; 0.01$.

б) $\log_2 \frac{x}{4} = \frac{15}{\log_2 \frac{x}{8} - 1}$

ОДЗ:
1. $x > 0$.
2. $\log_2 \frac{x}{8} - 1 \neq 0 \implies \log_2 \frac{x}{8} \neq 1 \implies \frac{x}{8} \neq 2^1 \implies x \neq 16$.
ОДЗ: $x > 0, x \neq 16$.

Используем свойство логарифма частного $\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$:
$\log_2 x - \log_2 4 = \frac{15}{(\log_2 x - \log_2 8) - 1}$
$\log_2 x - 2 = \frac{15}{(\log_2 x - 3) - 1}$
$\log_2 x - 2 = \frac{15}{\log_2 x - 4}$

Введем замену: пусть $t = \log_2 x$.
$t - 2 = \frac{15}{t - 4}$
$(t-2)(t-4) = 15$
$t^2 - 4t - 2t + 8 = 15$
$t^2 - 6t - 7 = 0$
По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 6$
$t_1 \cdot t_2 = -7$
Корни: $t_1 = 7$ и $t_2 = -1$.

Выполним обратную замену:
1. $\log_2 x = 7 \implies x = 2^7 = 128$.
2. $\log_2 x = -1 \implies x = 2^{-1} = 0.5$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $128; 0.5$.

в) $\frac{2 \lg x}{\lg(5x-4)} = 1$

ОДЗ:
1. $x > 0$.
2. $5x-4 > 0 \implies 5x > 4 \implies x > 0.8$.
3. $\lg(5x-4) \neq 0 \implies 5x-4 \neq 1 \implies 5x \neq 5 \implies x \neq 1$.
ОДЗ: $x > 0.8, x \neq 1$.

$2 \lg x = \lg(5x-4)$
Используем свойство степени логарифма $n \log_a b = \log_a (b^n)$:
$\lg(x^2) = \lg(5x-4)$
Так как основания логарифмов одинаковы, приравниваем их аргументы:
$x^2 = 5x-4$
$x^2 - 5x + 4 = 0$
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 5$
$x_1 \cdot x_2 = 4$
Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 1$.

Проверим корни по ОДЗ:
1. $x_1 = 4$. Удовлетворяет условиям $x > 0.8$ и $x \neq 1$.
2. $x_2 = 1$. Не удовлетворяет условию $x \neq 1$. Это посторонний корень.
Следовательно, решением является только $x=4$.

Ответ: $4$.

г) $\frac{1}{\lg x - 6} + \frac{5}{\lg x + 2} = 1$

ОДЗ:
1. $x > 0$.
2. $\lg x - 6 \neq 0 \implies \lg x \neq 6 \implies x \neq 10^6$.
3. $\lg x + 2 \neq 0 \implies \lg x \neq -2 \implies x \neq 10^{-2} \implies x \neq 0.01$.
ОДЗ: $x > 0, x \neq 10^6, x \neq 0.01$.

Введем замену: пусть $t = \lg x$.
$\frac{1}{t - 6} + \frac{5}{t + 2} = 1$
$\frac{(t+2) + 5(t-6)}{(t-6)(t+2)} = 1$
$\frac{t+2+5t-30}{t^2+2t-6t-12} = 1$
$\frac{6t-28}{t^2-4t-12} = 1$
$6t-28 = t^2-4t-12$
$t^2 - 10t + 16 = 0$
По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 10$
$t_1 \cdot t_2 = 16$
Корни: $t_1 = 8$ и $t_2 = 2$.

Выполним обратную замену:
1. $\lg x = 8 \implies x = 10^8$.
2. $\lg x = 2 \implies x = 10^2 = 100$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $10^8; 100$.

523.—

a) $ \log_a x = \log_{\sqrt{a}} 2 + \log_{\frac{1}{a}} 3; $

б) $ \log_x 2 - \log_4 x + \frac{7}{6} = 0; $

в) $ \log_3 x - 2 \log_{\frac{1}{3}} x = 6; $

г) $ \log_{25} x + \log_5 x = \log_{\frac{1}{5}} \sqrt{8}. $

а) $\log_a x = \log_{\sqrt{a}} 2 + \log_{\frac{1}{a}} 3$

Определим область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$, $a > 0$, $a \neq 1$.

Приведем все логарифмы к основанию $a$, используя свойство логарифма $\log_{b^k} c = \frac{1}{k} \log_b c$.

$\log_{\sqrt{a}} 2 = \log_{a^{1/2}} 2 = \frac{1}{1/2} \log_a 2 = 2 \log_a 2$.

$\log_{\frac{1}{a}} 3 = \log_{a^{-1}} 3 = \frac{1}{-1} \log_a 3 = -\log_a 3$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$\log_a x = 2 \log_a 2 - \log_a 3$.

Используем свойства логарифмов $k \log_b c = \log_b c^k$ и $\log_b m - \log_b n = \log_b(\frac{m}{n})$:

$\log_a x = \log_a (2^2) - \log_a 3$

$\log_a x = \log_a 4 - \log_a 3$

$\log_a x = \log_a \frac{4}{3}$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$x = \frac{4}{3}$.

Найденное значение $x$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{4}{3}$.

б) $\log_x 2 - \log_4 x + \frac{7}{6} = 0$

ОДЗ: основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равным единице, т.е. $x > 0$ и $x \neq 1$.

Приведем логарифмы к одному основанию, например, к основанию 2. Используем формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$ и свойство $\log_{b^k} c = \frac{1}{k} \log_b c$.

$\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$.

$\log_4 x = \log_{2^2} x = \frac{1}{2} \log_2 x$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{\log_2 x} - \frac{1}{2} \log_2 x + \frac{7}{6} = 0$.

Сделаем замену: пусть $t = \log_2 x$. Из ОДЗ следует, что $t \neq 0$.

$\frac{1}{t} - \frac{t}{2} + \frac{7}{6} = 0$.

Умножим обе части уравнения на $6t$, чтобы избавиться от знаменателей:

$6 - 3t^2 + 7t = 0$

$3t^2 - 7t - 6 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(3)(-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

$t_1 = \frac{7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$.

$t_2 = \frac{7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \neq 0$. Выполним обратную замену:

1) Если $\log_2 x = 3$, то $x = 2^3 = 8$.

2) Если $\log_2 x = -\frac{2}{3}$, то $x = 2^{-2/3} = \frac{1}{2^{2/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0, x \neq 1$).

Ответ: $x_1 = 8, x_2 = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$.

в) $\log_3 x - 2 \log_{\frac{1}{3}} x = 6$

ОДЗ: $x > 0$.

Приведем логарифм с основанием $\frac{1}{3}$ к основанию 3:

$\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{3^{-1}} x = -\log_3 x$.

Подставим в уравнение:

$\log_3 x - 2(-\log_3 x) = 6$.

$\log_3 x + 2\log_3 x = 6$.

$3\log_3 x = 6$.

$\log_3 x = 2$.

По определению логарифма: $x = 3^2 = 9$.

Корень $x=9$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=9$.

г) $\log_{25} x + \log_5 x = \log_{\frac{1}{5}} \sqrt{8}$

ОДЗ: $x > 0$.

Приведем все логарифмы к основанию 5.

$\log_{25} x = \log_{5^2} x = \frac{1}{2} \log_5 x$.

$\log_{\frac{1}{5}} \sqrt{8} = \log_{5^{-1}} 8^{1/2} = \frac{1/2}{-1} \log_5 8 = -\frac{1}{2} \log_5 8$.

Подставляем преобразованные выражения в уравнение:

$\frac{1}{2} \log_5 x + \log_5 x = -\frac{1}{2} \log_5 8$.

$\frac{3}{2} \log_5 x = -\frac{1}{2} \log_5 8$.

Умножим обе части на 2:

$3 \log_5 x = -\log_5 8$.

Используем свойство $k \log_b c = \log_b c^k$:

$\log_5 x^3 = \log_5 8^{-1}$.

$\log_5 x^3 = \log_5 \frac{1}{8}$.

Приравниваем аргументы:

$x^3 = \frac{1}{8}$.

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$.

Корень $x = \frac{1}{2}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

524.— a) $log_2 (9 - 2^x) = 3 - x;$

б) $log_2 (25^{x+3} - 1) = 2 + log_2 (5^{x+3} + 1);$

в) $log_4 (2 \cdot 4^{x-2} - 1) = 2x - 4;$

г) $log_2 (4^x + 4) = log_2 2^x + log_2 (2^{x+1} - 3).$

а) $log_2(9 - 2^x) = 3 - x$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$9 - 2^x > 0$
$9 > 2^x$
$log_2(9) > x$

Теперь решим уравнение. По определению логарифма ($log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$):
$9 - 2^x = 2^{3-x}$
$9 - 2^x = \frac{2^3}{2^x}$
$9 - 2^x = \frac{8}{2^x}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.
$9 - t = \frac{8}{t}$
Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$):
$t(9 - t) = 8$
$9t - t^2 = 8$
$t^2 - 9t + 8 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета или через дискриминант.
Корни уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 8$. Оба корня положительны, поэтому оба подходят.

Вернемся к исходной переменной $x$:
1) $2^x = t_1 = 1 \Rightarrow 2^x = 2^0 \Rightarrow x_1 = 0$.
2) $2^x = t_2 = 8 \Rightarrow 2^x = 2^3 \Rightarrow x_2 = 3$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x < log_2(9)$).
$log_2(9) \approx 3.17$.
1) $x_1 = 0$. $0 < log_2(9)$, корень подходит.
2) $x_2 = 3$. $3 < log_2(9)$, так как $log_2(8) < log_2(9)$, корень подходит.

Ответ: $0; 3$.

б) $log_2(25^x + 3 - 1) = 2 + log_2(5^x + 3 + 1)$

Упростим выражения в скобках:
$log_2(25^x + 2) = 2 + log_2(5^x + 4)$

ОДЗ:
1) $25^x + 2 > 0$. Это выражение всегда положительно, так как $25^x > 0$.
2) $5^x + 4 > 0$. Это выражение также всегда положительно, так как $5^x > 0$.
Следовательно, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:
$log_2(25^x + 2) - log_2(5^x + 4) = 2$
$log_2\left(\frac{25^x + 2}{5^x + 4}\right) = 2$

По определению логарифма:
$\frac{25^x + 2}{5^x + 4} = 2^2$
$\frac{25^x + 2}{5^x + 4} = 4$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$, тогда $25^x = (5^x)^2 = t^2$. Условие $t > 0$.
$\frac{t^2 + 2}{t + 4} = 4$
$t^2 + 2 = 4(t + 4)$
$t^2 + 2 = 4t + 16$
$t^2 - 4t - 14 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-4)^2 - 4(1)(-14) = 16 + 56 = 72$
$t = \frac{4 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{4 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 3\sqrt{2}$
Получаем два корня: $t_1 = 2 + 3\sqrt{2}$ и $t_2 = 2 - 3\sqrt{2}$.

Так как $t = 5^x$, то $t$ должно быть положительным. $t_1 = 2 + 3\sqrt{2} > 0$.
$t_2 = 2 - 3\sqrt{2} \approx 2 - 3 \cdot 1.41 = 2 - 4.23 < 0$. Этот корень не подходит.

Вернемся к замене: $5^x = 2 + 3\sqrt{2}$
$x = log_5(2 + 3\sqrt{2})$

Ответ: $log_5(2 + 3\sqrt{2})$.

в) $log_4(2 \cdot 4^{x-2} - 1) = 2x - 4$

ОДЗ:
$2 \cdot 4^{x-2} - 1 > 0$
$2 \cdot \frac{4^x}{4^2} - 1 > 0$
$2 \cdot \frac{4^x}{16} - 1 > 0$
$\frac{4^x}{8} > 1$
$4^x > 8$
$(2^2)^x > 2^3 \Rightarrow 2^{2x} > 2^3 \Rightarrow 2x > 3 \Rightarrow x > \frac{3}{2}$

Решим уравнение, используя определение логарифма:
$2 \cdot 4^{x-2} - 1 = 4^{2x-4}$
Заметим, что $2x-4 = 2(x-2)$. Тогда $4^{2x-4} = 4^{2(x-2)} = (4^{x-2})^2$.

Сделаем замену $t = 4^{x-2}$. Уравнение примет вид:
$2t - 1 = t^2$
$t^2 - 2t + 1 = 0$
$(t - 1)^2 = 0$
$t = 1$

Вернемся к замене:
$4^{x-2} = 1$
$4^{x-2} = 4^0$
$x - 2 = 0$
$x = 2$

Проверим корень по ОДЗ ($x > 3/2$).
$2 > 1.5$, корень подходит.

Ответ: $2$.

г) $log_2(4^x + 4) = log_2(2^x) + log_2(2^{x+1} - 3)$

ОДЗ:
1) $4^x + 4 > 0$ (верно для всех $x$).
2) $2^x > 0$ (верно для всех $x$).
3) $2^{x+1} - 3 > 0 \Rightarrow 2 \cdot 2^x > 3 \Rightarrow 2^x > \frac{3}{2} \Rightarrow x > log_2(\frac{3}{2})$.
Общее ОДЗ: $x > log_2(1.5)$.

Используем свойство суммы логарифмов $log_a b + log_a c = log_a(bc)$:
$log_2(4^x + 4) = log_2(2^x \cdot (2^{x+1} - 3))$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$4^x + 4 = 2^x(2 \cdot 2^x - 3)$

Сделаем замену $t = 2^x$. Тогда $4^x = t^2$. Из ОДЗ следует, что $t > 3/2$.
$t^2 + 4 = t(2t - 3)$
$t^2 + 4 = 2t^2 - 3t$
$t^2 - 3t - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.

Проверим корни по условию $t > 3/2$:
1) $t_1 = 4$. $4 > 3/2$, корень подходит.
2) $t_2 = -1$. $-1 \ngtr 3/2$, корень не подходит.

Вернемся к замене с подходящим корнем:
$2^x = 4$
$2^x = 2^2$
$x = 2$

Проверим решение по ОДЗ ($x > log_2(1.5)$).
$2 > log_2(1.5)$, так как $log_2(4) > log_2(1.5)$. Решение подходит.

Ответ: $2$.

Решите неравенства (525–528).

525. а) $ \lg (2x - 3) > \lg (x + 1) $;

б) $ \log_{0,3} (2x - 4) > \log_{0,3} (x + 1) $;

в) $ \lg (3x - 7) \le \lg (x + 1) $;

г) $ \log_{0,5} (4x - 7) < \log_{0,5} (x + 2) $.

а) $\lg(2x - 3) > \lg(x + 1)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 2x - 3 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x > 3 \\ x > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1.5 \\ x > -1 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > 1.5$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (1.5; +\infty)$.

2. Решим само неравенство. Так как основание десятичного логарифма $a = 10 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$2x - 3 > x + 1$

$2x - x > 1 + 3$

$x > 4$

3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x > 4 \\ x > 1.5 \end{cases}$

Решением системы является $x > 4$.

Ответ: $(4; +\infty)$

б) $\log_{0.3}(2x - 4) > \log_{0.3}(x + 1)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 2x - 4 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x > 4 \\ x > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > -1 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > 2$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (2; +\infty)$.

2. Решим неравенство. Так как основание логарифма $a = 0.3$, и $0 < 0.3 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$2x - 4 < x + 1$

$2x - x < 1 + 4$

$x < 5$

3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x < 5 \\ x > 2 \end{cases}$

Решением системы является интервал $2 < x < 5$.

Ответ: $(2; 5)$

в) $\lg(3x - 7) \le \lg(x + 1)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 3x - 7 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x > 7 \\ x > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{7}{3} \\ x > -1 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > \frac{7}{3}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (\frac{7}{3}; +\infty)$.

2. Решим неравенство. Так как основание логарифма $a = 10 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется:

$3x - 7 \le x + 1$

$3x - x \le 1 + 7$

$2x \le 8$

$x \le 4$

3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x \le 4 \\ x > \frac{7}{3} \end{cases}$

Решением системы является полуинтервал $\frac{7}{3} < x \le 4$.

Ответ: $(\frac{7}{3}; 4]$

г) $\log_{0.5}(4x - 7) < \log_{0.5}(x + 2)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 4x - 7 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 4x > 7 \\ x > -2 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{7}{4} \\ x > -2 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > \frac{7}{4}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (\frac{7}{4}; +\infty)$.

2. Решим неравенство. Так как основание логарифма $a = 0.5$, и $0 < 0.5 < 1$, функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$4x - 7 > x + 2$

$4x - x > 2 + 7$

$3x > 9$

$x > 3$

3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x > 3 \\ x > \frac{7}{4} \end{cases}$

Поскольку $3 > \frac{7}{4}$, решением системы является $x > 3$.

Ответ: $(3; +\infty)$

526. a) $\log_{0,5} x > \log_2 (3 - 2x);$

б) $\log_{\pi} (x + 1) + \log_{\pi} x < \log_{\pi} 2;$

в) $\lg x + \lg (x - 1) < \lg 6;$

Г) $\log_2 (x^2 - x - 12) < 3.$

а) Решим неравенство $\log_{0,5} x > \log_2 (3 - 2x)$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
1. $x > 0$
2. $3 - 2x > 0 \implies 2x < 3 \implies x < 1.5$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; 1.5)$.
Теперь приведем логарифмы к одному основанию, например, к 2. Используем свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$ и $\log_{0.5} x = \log_{2^{-1}} x = -\log_2 x = \log_2 (x^{-1}) = \log_2 \frac{1}{x}$.
Неравенство принимает вид: $\log_2 \frac{1}{x} > \log_2 (3 - 2x)$.
Так как основание логарифма $2 > 1$, функция $y=\log_2 t$ является возрастающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:
$\frac{1}{x} > 3 - 2x$.
Поскольку из ОДЗ мы знаем, что $x > 0$, можно умножить обе части неравенства на $x$, не меняя знака:
$1 > x(3 - 2x)$
$1 > 3x - 2x^2$
$2x^2 - 3x + 1 > 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $2x^2 - 3x + 1 = 0$.
Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 1}{4}$.
$x_1 = \frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$.
$x_2 = \frac{3+1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Парабола $y = 2x^2 - 3x + 1$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $2x^2 - 3x + 1 > 0$ выполняется при $x < 0.5$ или $x > 1$, то есть $x \in (-\infty; 0.5) \cup (1; \infty)$.
Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ $x \in (0; 1.5)$: $((-\infty; 0.5) \cup (1; \infty)) \cap (0; 1.5) = (0; 0.5) \cup (1; 1.5)$.
Ответ: $x \in (0; 0.5) \cup (1; 1.5)$.

б) Решим неравенство $\log_{\pi} (x + 1) + \log_{\pi} x < \log_{\pi} 2$.
ОДЗ:
1. $x + 1 > 0 \implies x > -1$
2. $x > 0$
Общая ОДЗ: $x > 0$, или $x \in (0; \infty)$.
Используем свойство суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$.
$\log_{\pi} (x(x + 1)) < \log_{\pi} 2$
$\log_{\pi} (x^2 + x) < \log_{\pi} 2$.
Основание логарифма $\pi \approx 3.14 > 1$, поэтому функция логарифма возрастающая, и знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:
$x^2 + x < 2$
$x^2 + x - 2 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.
Парабола $y = x^2 + x - 2$ имеет ветви вверх, значит, неравенство $x^2 + x - 2 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-2; 1)$.
Пересекаем это решение с ОДЗ $x \in (0; \infty)$: $(-2; 1) \cap (0; \infty) = (0; 1)$.
Ответ: $x \in (0; 1)$.

в) Решим неравенство $\lg x + \lg (x - 1) < \lg 6$.
ОДЗ:
1. $x > 0$
2. $x - 1 > 0 \implies x > 1$
Общая ОДЗ: $x > 1$, или $x \in (1; \infty)$.
Применяем свойство суммы логарифмов ($\lg$ - это $\log_{10}$):
$\lg (x(x - 1)) < \lg 6$
$\lg (x^2 - x) < \lg 6$.
Основание десятичного логарифма $10 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:
$x^2 - x < 6$
$x^2 - x - 6 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.
Парабола $y = x^2 - x - 6$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $x^2 - x - 6 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-2; 3)$.
Пересекаем полученное решение с ОДЗ $x \in (1; \infty)$: $(-2; 3) \cap (1; \infty) = (1; 3)$.
Ответ: $x \in (1; 3)$.

г) Решим неравенство $\log_2 (x^2 - x - 12) < 3$.
ОДЗ: $x^2 - x - 12 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 4$.
Парабола $y = x^2 - x - 12$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $x^2 - x - 12 > 0$ выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty; -3) \cup (4; \infty)$.
Теперь решаем основное неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 2: $3 = \log_2 (2^3) = \log_2 8$.
$\log_2 (x^2 - x - 12) < \log_2 8$.
Основание логарифма $2 > 1$, поэтому знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:
$x^2 - x - 12 < 8$
$x^2 - x - 20 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 20 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 5$.
Парабола $y = x^2 - x - 20$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $x^2 - x - 20 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-4; 5)$.
Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in (-\infty; -3) \cup (4; \infty)$: $(-4; 5) \cap ((-\infty; -3) \cup (4; \infty)) = (-4; -3) \cup (4; 5)$.
Ответ: $x \in (-4; -3) \cup (4; 5)$.

527.-

a) $\log^2_2 x - \log_2 x \le 6;$

б) $\log^2_{\frac{1}{3}} x - 4 > 0;$

в) $\lg^2 x + 2 \lg x > 3;$

г) $\log^2_3 x - 9 \le 0.$

а) $\log_2^2 x - \log_2 x \le 6$
Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, следовательно, $x > 0$.
Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$\log_2^2 x - \log_2 x - 6 \le 0$
Данное неравенство является квадратным относительно $\log_2 x$. Введем замену переменной: пусть $t = \log_2 x$.
В новых переменных неравенство примет вид:
$t^2 - t - 6 \le 0$
Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - t - 6 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем $t_1 = -2$ и $t_2 = 3$.
Графиком функции $y = t^2 - t - 6$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $t^2 - t - 6 \le 0$ выполняется для значений $t$, лежащих между корнями (включая сами корни).
Таким образом, $-2 \le t \le 3$.
Выполним обратную замену, подставив вместо $t$ выражение $\log_2 x$:
$-2 \le \log_2 x \le 3$
Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_2 x$ является возрастающей. Поэтому при потенцировании (переходе от логарифмов к числам) знаки неравенства сохраняются:
$2^{-2} \le x \le 2^3$
$1/4 \le x \le 8$
Найденное решение $x \in [1/4, 8]$ полностью удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $[1/4; 8]$.

б) $\log_{1/3}^2 x - 4 > 0$
ОДЗ: $x > 0$.
Введем замену переменной: пусть $t = \log_{1/3} x$. Неравенство примет вид:
$t^2 - 4 > 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(t-2)(t+2) > 0$.
Решением этого неравенства является совокупность $t < -2$ или $t > 2$.
Вернемся к исходной переменной:
$\log_{1/3} x < -2$ или $\log_{1/3} x > 2$.
Так как основание логарифма $1/3$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция $y = \log_{1/3} x$ является убывающей. Это означает, что при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный.
Для первого неравенства $\log_{1/3} x < -2$:
$x > (1/3)^{-2} \implies x > 3^2 \implies x > 9$.
Для второго неравенства $\log_{1/3} x > 2$:
$x < (1/3)^2 \implies x < 1/9$.
Объединяя полученные результаты с ОДЗ ($x > 0$), получаем решение:
$0 < x < 1/9$ или $x > 9$.
Ответ: $(0; 1/9) \cup (9; \infty)$.

в) $\lg^2 x + 2 \lg x > 3$
Напомним, что $\lg x$ — это десятичный логарифм, то есть $\log_{10} x$.
ОДЗ: $x > 0$.
Перенесем все члены в левую часть:
$\lg^2 x + 2 \lg x - 3 > 0$
Введем замену переменной: пусть $t = \lg x$.
$t^2 + 2t - 3 > 0$
Найдем корни уравнения $t^2 + 2t - 3 = 0$. Корнями являются $t_1 = -3$ и $t_2 = 1$.
Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 + 2t - 3 > 0$ выполняется для значений $t$ вне интервала между корнями.
Следовательно, $t < -3$ или $t > 1$.
Выполним обратную замену:
$\lg x < -3$ или $\lg x > 1$.
Основание десятичного логарифма $10 > 1$, поэтому функция является возрастающей, и знаки неравенств сохраняются:
Из $\lg x < -3$ следует $x < 10^{-3}$, то есть $x < 0.001$.
Из $\lg x > 1$ следует $x > 10^1$, то есть $x > 10$.
Учитывая ОДЗ ($x > 0$), итоговое решение:
$0 < x < 0.001$ или $x > 10$.
Ответ: $(0; 0.001) \cup (10; \infty)$.

г) $\log_3^2 x - 9 \le 0$
ОДЗ: $x > 0$.
Введем замену переменной: пусть $t = \log_3 x$.
$t^2 - 9 \le 0$
Разложим на множители: $(t-3)(t+3) \le 0$.
Решением этого неравенства является интервал $-3 \le t \le 3$.
Вернемся к исходной переменной:
$-3 \le \log_3 x \le 3$
Основание логарифма $3 > 1$, функция возрастающая, знаки неравенства сохраняются.
$3^{-3} \le x \le 3^3$
$1/27 \le x \le 27$
Это решение полностью удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $[1/27; 27]$.

528. a) $\log_2 \sin \frac{x}{2} < -1;$

б) $|3 - \log_2 x| < 2;$

в) $\log_{\frac{1}{2}} \cos 2x > 1;$

г) $|3 \lg x - 1| < 2.$

a) $\log_2 \sin\frac{x}{2} < -1$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$\sin\frac{x}{2} > 0$
Это неравенство выполняется, когда аргумент синуса находится в интервале $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$2\pi k < \frac{x}{2} < \pi + 2\pi k$
Умножим все части на 2:
$4\pi k < x < 2\pi + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Решим исходное логарифмическое неравенство. Основание логарифма $2 > 1$, поэтому знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется.
$\log_2 \sin\frac{x}{2} < -1$
Представим $-1$ как логарифм по основанию 2: $-1 = \log_2 2^{-1} = \log_2 \frac{1}{2}$.
$\log_2 \sin\frac{x}{2} < \log_2 \frac{1}{2}$
Отсюда получаем:
$\sin\frac{x}{2} < \frac{1}{2}$

3. Объединим условия из ОДЗ и решенного неравенства. Необходимо найти такие $x$, для которых одновременно выполняются два условия:
$0 < \sin\frac{x}{2}$ и $\sin\frac{x}{2} < \frac{1}{2}$.
Это эквивалентно двойному неравенству: $0 < \sin\frac{x}{2} < \frac{1}{2}$.

4. Решим тригонометрическое неравенство. Обозначим $t = \frac{x}{2}$ и решим неравенство $0 < \sin t < \frac{1}{2}$.
На единичной окружности этому условию соответствуют два интервала для $t$:
$2\pi k < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
и
$\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < t < \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5. Сделаем обратную замену $t = \frac{x}{2}$ и найдем $x$:
Для первого интервала:
$2\pi k < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{6} + 2\pi k \implies 4\pi k < x < \frac{\pi}{3} + 4\pi k$.
Для второго интервала:
$\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < \frac{x}{2} < \pi + 2\pi k \implies \frac{5\pi}{3} + 4\pi k < x < 2\pi + 4\pi k$.

Ответ: $x \in (4\pi k, \frac{\pi}{3} + 4\pi k) \cup (\frac{5\pi}{3} + 4\pi k, 2\pi + 4\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $|3 - \log_2 x| < 2$

1. Найдем ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положителен, $x > 0$.

2. Решим неравенство с модулем. Неравенство вида $|A| < B$ (при $B > 0$) равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.
$-2 < 3 - \log_2 x < 2$

3. Решим это двойное неравенство. Сначала вычтем 3 из всех частей:
$-2 - 3 < -\log_2 x < 2 - 3$
$-5 < -\log_2 x < -1$

4. Умножим все части на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:
$1 < \log_2 x < 5$

5. Представим 1 и 5 в виде логарифмов по основанию 2:
$\log_2 2^1 < \log_2 x < \log_2 2^5$
$\log_2 2 < \log_2 x < \log_2 32$

6. Так как основание логарифма $2 > 1$, знаки неравенств при переходе к аргументам сохраняются:
$2 < x < 32$

7. Полученное решение $x \in (2, 32)$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in (2, 32)$.

в) $\log_{\frac{1}{2}} \cos 2x > 1$

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$\cos 2x > 0$
Это неравенство выполняется, когда $2x$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 2x < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
Разделим все части на 2:
$-\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Решим исходное логарифмическое неравенство. Основание логарифма $\frac{1}{2} < 1$, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный.
$\log_{\frac{1}{2}} \cos 2x > 1$
Представим $1$ как логарифм по основанию $\frac{1}{2}$: $1 = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^1 = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$.
$\log_{\frac{1}{2}} \cos 2x > \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$
Отсюда: $\cos 2x < \frac{1}{2}$

3. Объединим условия из ОДЗ и решенного неравенства:
$\cos 2x > 0$ и $\cos 2x < \frac{1}{2}$.
Это эквивалентно двойному неравенству: $0 < \cos 2x < \frac{1}{2}$.

4. Решим тригонометрическое неравенство. Пусть $t = 2x$. Решаем $0 < \cos t < \frac{1}{2}$.
На единичной окружности этому условию соответствуют два интервала для $t$:
$\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
и
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < t < -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5. Сделаем обратную замену $t = 2x$:
Для первого интервала:
$\frac{\pi}{3} + 2\pi k < 2x < \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies \frac{\pi}{6} + \pi k < x < \frac{\pi}{4} + \pi k$.
Для второго интервала:
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 2x < -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies -\frac{\pi}{4} + \pi k < x < -\frac{\pi}{6} + \pi k$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{4} + \pi k, -\frac{\pi}{6} + \pi k) \cup (\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{\pi}{4} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) $|3 \lg x - 1| < 2$

1. Найдем ОДЗ: $x > 0$. (здесь $\lg x$ - это десятичный логарифм, $\log_{10} x$)

2. Решим неравенство с модулем. Неравенство вида $|A| < B$ (при $B > 0$) равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.
$-2 < 3 \lg x - 1 < 2$

3. Решим это двойное неравенство. Прибавим 1 ко всем частям:
$-2 + 1 < 3 \lg x < 2 + 1$
$-1 < 3 \lg x < 3$

4. Разделим все части на 3:
$-\frac{1}{3} < \lg x < 1$

5. Так как основание логарифма $10 > 1$, можно потенцировать неравенство:
$10^{-1/3} < x < 10^1$

6. Упростим левую часть:
$10^{-1/3} = \frac{1}{10^{1/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{10}}$
Таким образом, $\frac{1}{\sqrt[3]{10}} < x < 10$.

7. Полученное решение $x \in (\frac{1}{\sqrt[3]{10}}, 10)$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in (\frac{1}{\sqrt[3]{10}}, 10)$.