Страница 242 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

508.— Решите уравнение:

a) $\log_3 x = 2 \log_9 6 - \log_9 12;$

б) $\log_{\frac{1}{2}} x = \log_{0.2} 35 - 2 \log_{0.2} 25\sqrt{7};$

в) $\log_5 x = \frac{1}{2} \log_3 144 + \log_3 0.75;$

г) $\log_{\pi} x = 3 \log_{0.1} 4 + 2 \log_{0.1} 1\frac{1}{4}.$

а) $log_3 x = 2 log_9 6 - log_9 12$
Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x > 0$.
Сначала упростим правую часть уравнения. Для этого воспользуемся свойствами логарифмов: $n \cdot log_a b = log_a(b^n)$ и $log_a b - log_a c = log_a(b/c)$.
$2 log_9 6 - log_9 12 = log_9(6^2) - log_9 12 = log_9 36 - log_9 12 = log_9(\frac{36}{12}) = log_9 3$.
Теперь уравнение имеет вид:
$log_3 x = log_9 3$.
Вычислим значение $log_9 3$. Пусть $log_9 3 = y$, тогда по определению логарифма $9^y = 3$. Так как $9 = 3^2$, получаем $(3^2)^y = 3^1$, или $3^{2y} = 3^1$. Отсюда следует, что $2y = 1$, и $y = \frac{1}{2}$.
Таким образом, $log_9 3 = \frac{1}{2}$.
Подставим это значение обратно в уравнение:
$log_3 x = \frac{1}{2}$.
По определению логарифма:
$x = 3^{1/2} = \sqrt{3}$.
Полученное значение $x = \sqrt{3}$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x = \sqrt{3}$.

б) $log_{1/2} x = log_{0.2} 35 - 2 log_{0.2} 25\sqrt{7}$
ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем правую часть уравнения. Основание логарифма $0.2 = \frac{1}{5}$. Используем свойства логарифмов:
$log_{0.2} 35 - 2 log_{0.2} (25\sqrt{7}) = log_{0.2} 35 - log_{0.2} ((25\sqrt{7})^2)$.
Вычислим $(25\sqrt{7})^2 = 25^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 625 \cdot 7 = 4375$.
$log_{0.2} 35 - log_{0.2} 4375 = log_{0.2}(\frac{35}{4375})$.
Сократим дробь: $\frac{35}{4375} = \frac{35}{35 \cdot 125} = \frac{1}{125}$.
Таким образом, правая часть равна $log_{0.2}(\frac{1}{125}) = log_{1/5}(\frac{1}{125})$.
Так как $(\frac{1}{5})^3 = \frac{1}{125}$, то $log_{1/5}(\frac{1}{125}) = 3$.
Уравнение принимает вид:
$log_{1/2} x = 3$.
По определению логарифма:
$x = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.
Полученное значение $x = \frac{1}{8}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{1}{8}$.

в) $log_5 x = \frac{1}{2} log_3 144 + log_3 0.75$
ОДЗ: $x > 0$.
Упростим правую часть уравнения. Представим десятичную дробь $0.75$ в виде обыкновенной: $0.75 = \frac{3}{4}$.
$\frac{1}{2} log_3 144 + log_3 \frac{3}{4} = log_3(144^{1/2}) + log_3(\frac{3}{4}) = log_3(\sqrt{144}) + log_3(\frac{3}{4}) = log_3 12 + log_3(\frac{3}{4})$.
Используем свойство суммы логарифмов $log_a b + log_a c = log_a(b \cdot c)$:
$log_3(12 \cdot \frac{3}{4}) = log_3(3 \cdot 3) = log_3 9$.
Значение $log_3 9 = 2$, так как $3^2=9$.
Уравнение принимает вид:
$log_5 x = 2$.
По определению логарифма:
$x = 5^2 = 25$.
Полученное значение $x = 25$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = 25$.

г) $log_{\pi} x = 3 log_{0.1} 4 + 2 log_{0.1} 1\frac{1}{4}$
ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем правую часть. Переведем смешанное число $1\frac{1}{4}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$. Основание логарифма $0.1 = \frac{1}{10}$.
$3 log_{0.1} 4 + 2 log_{0.1} (\frac{5}{4}) = log_{0.1}(4^3) + log_{0.1}((\frac{5}{4})^2) = log_{0.1} 64 + log_{0.1}(\frac{25}{16})$.
Используем свойство суммы логарифмов:
$log_{0.1}(64 \cdot \frac{25}{16}) = log_{0.1}(4 \cdot 25) = log_{0.1} 100$.
Вычислим значение $log_{0.1} 100$. Пусть $log_{0.1} 100 = y$. Тогда $(0.1)^y = 100$.
Представим обе части в виде степени 10: $(10^{-1})^y = 10^2$, что равносильно $10^{-y} = 10^2$.
Отсюда $-y=2$, и $y=-2$.
Уравнение принимает вид:
$log_{\pi} x = -2$.
По определению логарифма:
$x = \pi^{-2} = \frac{1}{\pi^2}$.
Полученное значение $x = \frac{1}{\pi^2}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{1}{\pi^2}$.

509.— Решите графически уравнение:

а) $ \lg x = 1 - x $;

б) $ \log_{\frac{1}{3}} x = x - 4 $;

в) $ \log_{\frac{1}{5}} x = x - 6 $;

г) $ \log_2 x = 3 - x $.

а)

Чтобы решить уравнение $ \lg x = 1 - x $ графически, построим в одной системе координат графики функций $ y = \lg x $ и $ y = 1 - x $. Абсцисса точки пересечения этих графиков и будет решением уравнения.

1. График функции $ y = \lg x $ — это логарифмическая кривая (десятичный логарифм), которая проходит через точку $ (1, 0) $, возрастает на всей области определения $ x > 0 $ и имеет вертикальную асимптоту $ x = 0 $. Возьмем несколько точек для построения: $ (0.1, -1) $, $ (1, 0) $, $ (10, 1) $.

2. График функции $ y = 1 - x $ — это прямая линия. Найдем две точки для ее построения: если $ x = 0 $, то $ y = 1 $ (точка $ (0, 1) $); если $ y = 0 $, то $ x = 1 $ (точка $ (1, 0) $).

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Координаты этой точки — $ (1, 0) $.

Проверим, является ли $ x = 1 $ корнем уравнения:

Левая часть: $ \lg 1 = 0 $.

Правая часть: $ 1 - 1 = 0 $.

$ 0 = 0 $, следовательно, $ x = 1 $ является решением.

Так как функция $ y = \lg x $ является возрастающей, а функция $ y = 1 - x $ — убывающей, они могут иметь не более одной точки пересечения. Значит, это единственное решение.

Ответ: $ x = 1 $

б)

Для решения уравнения $ \log_{\frac{1}{3}} x = x - 4 $ графически, построим в одной системе координат графики функций $ y = \log_{\frac{1}{3}} x $ и $ y = x - 4 $.

1. График функции $ y = \log_{\frac{1}{3}} x $ — это логарифмическая кривая. Так как основание логарифма $ \frac{1}{3} < 1 $, функция является убывающей на всей области определения $ x > 0 $. График проходит через точку $ (1, 0) $. Возьмем еще точки: $ (\frac{1}{3}, 1) $, $ (3, -1) $, $ (9, -2) $.

2. График функции $ y = x - 4 $ — это прямая линия. Найдем две точки для ее построения: если $ x = 0 $, то $ y = -4 $ (точка $ (0, -4) $); если $ x = 4 $, то $ y = 0 $ (точка $ (4, 0) $).

Построив графики, находим их точку пересечения. Из графика видно, что это точка с абсциссой $ x = 3 $.

Проверим это значение:

Левая часть: $ \log_{\frac{1}{3}} 3 = -1 $.

Правая часть: $ 3 - 4 = -1 $.

$ -1 = -1 $, значит, $ x = 3 $ является решением.

Функция $ y = \log_{\frac{1}{3}} x $ убывающая, а $ y = x - 4 $ — возрастающая, поэтому они пересекаются только в одной точке.

Ответ: $ x = 3 $

в)

Для решения уравнения $ \log_{\frac{1}{5}} x = x - 6 $ графически, построим в одной системе координат графики функций $ y = \log_{\frac{1}{5}} x $ и $ y = x - 6 $.

1. График функции $ y = \log_{\frac{1}{5}} x $ — это убывающая логарифмическая кривая (основание $ \frac{1}{5} < 1 $) с областью определения $ x > 0 $. График проходит через точки $ (1, 0) $, $ (5, -1) $, $ (\frac{1}{5}, 1) $.

2. График функции $ y = x - 6 $ — это прямая линия. Для построения возьмем точки: если $ x = 0 $, то $ y = -6 $ (точка $ (0, -6) $); если $ x = 6 $, то $ y = 0 $ (точка $ (6, 0) $).

Построив графики, мы видим, что они пересекаются в точке, абсцисса которой равна $ 5 $.

Выполним проверку для $ x = 5 $:

Левая часть: $ \log_{\frac{1}{5}} 5 = -1 $.

Правая часть: $ 5 - 6 = -1 $.

$ -1 = -1 $, что подтверждает правильность решения.

Так как одна функция убывает, а другая возрастает, у них может быть только одна точка пересечения.

Ответ: $ x = 5 $

г)

Для решения уравнения $ \log_2 x = 3 - x $ графически, построим в одной системе координат графики функций $ y = \log_2 x $ и $ y = 3 - x $.

1. График функции $ y = \log_2 x $ — это возрастающая логарифмическая кривая (основание $ 2 > 1 $) с областью определения $ x > 0 $. График проходит через точки $ (1, 0) $, $ (2, 1) $, $ (4, 2) $.

2. График функции $ y = 3 - x $ — это прямая линия. Найдем две точки для ее построения: если $ x = 0 $, то $ y = 3 $ (точка $ (0, 3) $); если $ x = 3 $, то $ y = 0 $ (точка $ (3, 0) $).

Начертив оба графика, мы можем определить их точку пересечения. Видно, что это точка с абсциссой $ x = 2 $.

Проверим подстановкой $ x = 2 $ в исходное уравнение:

Левая часть: $ \log_2 2 = 1 $.

Правая часть: $ 3 - 2 = 1 $.

$ 1 = 1 $. Решение найдено верно.

Функция $ y = \log_2 x $ — возрастающая, а функция $ y = 3 - x $ — убывающая, поэтому решение единственно.

Ответ: $ x = 2 $

510. Верно ли, что логарифмическая функция:

а) имеет экстремумы;

б) является нечетной;

в) является периодической;

г) является четной?

а) имеет экстремумы; Рассмотрим логарифмическую функцию $y = \log_a(x)$, где основание $a > 0$ и $a \neq 1$. Область определения этой функции — все положительные действительные числа, то есть $x \in (0, +\infty)$.
Для нахождения экстремумов (точек максимума и минимума) найдем производную функции:
$y' = (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$
Чтобы найти критические точки, нужно приравнять производную к нулю или найти точки, где она не существует.
Поскольку $x > 0$ и $\ln a$ — константа, не равная нулю, производная $y'$ никогда не обращается в ноль. Также производная существует для всех $x$ из области определения функции.
Так как у функции нет критических точек, у нее нет и экстремумов. Логарифмическая функция является строго монотонной на всей своей области определения: она строго возрастает при $a > 1$ и строго убывает при $0 < a < 1$.
Ответ: Нет, утверждение неверно.

б) является нечетной; Функция $f(x)$ называется нечетной, если выполняются два условия:
1. Ее область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля (то есть если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
Область определения логарифмической функции $y = \log_a(x)$ — это интервал $(0, +\infty)$. Эта область определения не является симметричной относительно нуля. Например, число $2$ входит в область определения, а число $-2$ — нет.
Поскольку первое условие не выполнено, функция не может быть нечетной.
Ответ: Нет, утверждение неверно.

в) является периодической; Функция $f(x)$ называется периодической, если существует такое число $T \neq 0$ (период), что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
Как было показано в пункте (а), логарифмическая функция является строго монотонной.
Если функция строго возрастает (при $a > 1$), то для любого $T > 0$ будет выполняться неравенство $\log_a(x+T) > \log_a(x)$.
Если функция строго убывает (при $0 < a < 1$), то для любого $T > 0$ будет выполняться неравенство $\log_a(x+T) < \log_a(x)$.
Равенство $\log_a(x+T) = \log_a(x)$ при $T \neq 0$ невозможно. Следовательно, логарифмическая функция не является периодической.
Ответ: Нет, утверждение неверно.

г) является четной? Функция $f(x)$ называется четной, если выполняются два условия:
1. Ее область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля.
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
Как и в случае с проверкой на нечетность, область определения логарифмической функции $y = \log_a(x)$, равная $(0, +\infty)$, не является симметричной относительно нуля.
Так как первое условие не выполняется, функция не является четной. Логарифмическая функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).
Ответ: Нет, утверждение неверно.

511. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f на промежутке I:

а) $f(x) = \log_{\frac{1}{4}} x, I = [1; 4];$

б) $f(x) = \log_9 x, I = \left[\frac{1}{9}; 9\right];$

в) $f(x) = \log_5 x, I = \left[\frac{1}{5}; 1\right];$

г) $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x, I = \left[\frac{1}{2}; 4\right].$

а)

Дана функция $f(x) = \log_{\frac{1}{4}} x$ на промежутке $I = [1; 4]$. Логарифмическая функция $y = \log_a x$ является монотонной на всей своей области определения. Характер монотонности зависит от основания логарифма $a$. В данном случае основание $a = \frac{1}{4}$. Так как $0 < a < 1$, то функция является строго убывающей. На отрезке $[c; d]$ убывающая функция достигает своего наибольшего значения в левой границе отрезка ($x=c$) и наименьшего значения в правой границе ($x=d$). Следовательно, для отрезка $[1; 4]$:

• Наибольшее значение функция принимает при $x = 1$:
  $f(1) = \log_{\frac{1}{4}} 1 = 0$.
• Наименьшее значение функция принимает при $x = 4$:
  $f(4) = \log_{\frac{1}{4}} 4 = -1$, так как $(\frac{1}{4})^{-1} = 4$.

Ответ: наибольшее значение $0$, наименьшее значение $-1$.

б)

Дана функция $f(x) = \log_9 x$ на промежутке $I = [\frac{1}{9}; 9]$. Основание логарифма $a = 9$. Так как $a > 1$, функция является строго возрастающей. На отрезке $[c; d]$ возрастающая функция достигает своего наименьшего значения в левой границе отрезка ($x=c$) и наибольшего значения в правой границе ($x=d$). Следовательно, для отрезка $[\frac{1}{9}; 9]$:

• Наименьшее значение функция принимает при $x = \frac{1}{9}$:
  $f(\frac{1}{9}) = \log_9 (\frac{1}{9}) = \log_9 (9^{-1}) = -1$.
• Наибольшее значение функция принимает при $x = 9$:
  $f(9) = \log_9 9 = 1$.

Ответ: наибольшее значение $1$, наименьшее значение $-1$.

в)

Дана функция $f(x) = \log_5 x$ на промежутке $I = [\frac{1}{5}; 1]$. Основание логарифма $a = 5$. Так как $a > 1$, функция является строго возрастающей. На отрезке $[\frac{1}{5}; 1]$ функция достигает наименьшего значения в левой границе и наибольшего в правой.

• Наименьшее значение функция принимает при $x = \frac{1}{5}$:
  $f(\frac{1}{5}) = \log_5 (\frac{1}{5}) = \log_5 (5^{-1}) = -1$.
• Наибольшее значение функция принимает при $x = 1$:
  $f(1) = \log_5 1 = 0$.

Ответ: наибольшее значение $0$, наименьшее значение $-1$.

г)

Дана функция $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ на промежутке $I = [\frac{1}{2}; 4]$. Основание логарифма $a = \frac{1}{2}$. Так как $0 < a < 1$, функция является строго убывающей. На отрезке $[\frac{1}{2}; 4]$ убывающая функция достигает своего наибольшего значения в левой границе и наименьшего значения в правой границе.

• Наибольшее значение функция принимает при $x = \frac{1}{2}$:
  $f(\frac{1}{2}) = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2}) = 1$.
• Наименьшее значение функция принимает при $x = 4$:
  $f(4) = \log_{\frac{1}{2}} 4 = \log_{\frac{1}{2}} (2^2) = \log_{\frac{1}{2}} ((\frac{1}{2})^{-2}) = -2$.

Ответ: наибольшее значение $1$, наименьшее значение $-2$.