Страница 236 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Проверьте справедливость равенств (479—482).

479.— a) $\log_3 \frac{1}{81} = -4$;

б) $\log_{16} 1 = 0$;

в) $\log_4 16 = 2

г) $\log_5 125 = 3.

Для проверки справедливости равенств воспользуемся определением логарифма: $\log_b a = c$ тогда и только тогда, когда $b^c = a$, где $a > 0$, $b > 0$ и $b \neq 1$.

а) $\log_3 \frac{1}{81} = -4$

Проверим, верно ли, что $3^{-4} = \frac{1}{81}$.

Согласно свойству степени с отрицательным показателем, $3^{-4} = \frac{1}{3^4}$.

Вычислим $3^4$: $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 9 = 81$.

Следовательно, $3^{-4} = \frac{1}{81}$.

Равенство $\frac{1}{81} = \frac{1}{81}$ является верным.

Ответ: равенство справедливо.

б) $\log_{16} 1 = 0$

Проверим, верно ли, что $16^0 = 1$.

Любое число (кроме нуля), возведенное в степень 0, равно 1.

Следовательно, $16^0 = 1$.

Равенство $1 = 1$ является верным.

Ответ: равенство справедливо.

в) $\log_4 16 = 2$

Проверим, верно ли, что $4^2 = 16$.

Вычислим $4^2$: $4 \times 4 = 16$.

Равенство $16 = 16$ является верным.

Ответ: равенство справедливо.

г) $\log_5 125 = 3$

Проверим, верно ли, что $5^3 = 125$.

Вычислим $5^3$: $5 \times 5 \times 5 = 25 \times 5 = 125$.

Равенство $125 = 125$ является верным.

Ответ: равенство справедливо.

480. a) $\log_5 0,04 = -2$;

б) $\log_7 343 = 3$;

в) $\lg 0,01 = -2$;

г) $\log_3 \frac{1}{243} = -5$.

а)

Чтобы проверить истинность равенства $\log_5 0,04 = -2$, воспользуемся определением логарифма: $\log_a b = c$ эквивалентно $a^c = b$.

В данном случае, основание $a=5$, число под логарифмом $b=0,04$ и значение логарифма $c=-2$.

Проверим, выполняется ли равенство $5^{-2} = 0,04$.

Вычислим левую часть: $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.

Представим правую часть в виде обыкновенной дроби: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$.

Так как $\frac{1}{25} = \frac{1}{25}$, равенство является верным.

Ответ: равенство $\log_5 0,04 = -2$ верно.

б)

Чтобы проверить истинность равенства $\log_7 343 = 3$, воспользуемся определением логарифма: $\log_a b = c$ эквивалентно $a^c = b$.

В данном случае, основание $a=7$, число под логарифмом $b=343$ и значение логарифма $c=3$.

Проверим, выполняется ли равенство $7^3 = 343$.

Вычислим левую часть: $7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$.

Правая часть равна $343$.

Так как $343 = 343$, равенство является верным.

Ответ: равенство $\log_7 343 = 3$ верно.

в)

Чтобы проверить истинность равенства $\lg 0,01 = -2$, вспомним, что $\lg$ — это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $\lg x = \log_{10} x$.

Таким образом, исходное равенство можно переписать как $\log_{10} 0,01 = -2$.

Воспользуемся определением логарифма: $\log_a b = c$ эквивалентно $a^c = b$.

В данном случае, основание $a=10$, число под логарифмом $b=0,01$ и значение логарифма $c=-2$.

Проверим, выполняется ли равенство $10^{-2} = 0,01$.

Вычислим левую часть: $10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100}$.

Представим правую часть в виде обыкновенной дроби: $0,01 = \frac{1}{100}$.

Так как $\frac{1}{100} = \frac{1}{100}$, равенство является верным.

Ответ: равенство $\lg 0,01 = -2$ верно.

г)

Чтобы проверить истинность равенства $\log_3 \frac{1}{243} = -5$, воспользуемся определением логарифма: $\log_a b = c$ эквивалентно $a^c = b$.

В данном случае, основание $a=3$, число под логарифмом $b=\frac{1}{243}$ и значение логарифма $c=-5$.

Проверим, выполняется ли равенство $3^{-5} = \frac{1}{243}$.

Вычислим левую часть: $3^{-5} = \frac{1}{3^5}$.

Теперь вычислим $3^5$: $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$.

Следовательно, левая часть равна $\frac{1}{243}$.

Правая часть также равна $\frac{1}{243}$.

Так как $\frac{1}{243} = \frac{1}{243}$, равенство является верным.

Ответ: равенство $\log_3 \frac{1}{243} = -5$ верно.

481. а) $\log_{\sqrt{2}} 8 = 6;$

б) $\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 27 = -6;$

в) $\log_{\frac{1}{3}} 9 = -2;$

г) $\log_{0,5} 4 = -2.$

а) Для проверки верности равенства $\log_{\sqrt{2}} 8 = 6$ воспользуемся определением логарифма: $\log_b a = c$ равносильно тому, что $b^c = a$.
В данном случае основание $b = \sqrt{2}$, число под логарифмом $a = 8$ и значение логарифма $c = 6$.
Проверим, выполняется ли равенство $(\sqrt{2})^6 = 8$.
Представим основание в виде степени: $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$.
Тогда левая часть равенства преобразуется к виду: $(\sqrt{2})^6 = (2^{\frac{1}{2}})^6$.
По свойству возведения степени в степень $((x^m)^n = x^{m \cdot n})$, получаем: $2^{\frac{1}{2} \cdot 6} = 2^3$.
Вычисляем: $2^3 = 8$.
Так как левая и правая части равенства совпали ($8=8$), исходное утверждение верно.
Ответ: равенство верно.

б) Проверим верность равенства $\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 27 = -6$.
По определению логарифма, данное равенство будет верным, если $(\frac{1}{\sqrt{3}})^{-6} = 27$.
Преобразуем основание логарифма: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} = 3^{-\frac{1}{2}}$.
Подставим это в левую часть проверяемого равенства: $(3^{-\frac{1}{2}})^{-6}$.
Используя свойство степени, получаем: $3^{(-\frac{1}{2}) \cdot (-6)} = 3^3$.
Вычисляем: $3^3 = 27$.
Так как мы получили $27 = 27$, исходное равенство верно.
Ответ: равенство верно.

в) Проверим верность равенства $\log_{\frac{1}{3}} 9 = -2$.
Согласно определению логарифма, это равенство справедливо, если $(\frac{1}{3})^{-2} = 9$.
Преобразуем левую часть равенства. Основание $\frac{1}{3}$ можно записать как $3^{-1}$.
Тогда $(\frac{1}{3})^{-2} = (3^{-1})^{-2}$.
По свойству степени: $3^{(-1) \cdot (-2)} = 3^2$.
Вычисляем: $3^2 = 9$.
Так как левая часть равна правой ($9=9$), исходное равенство верно.
Ответ: равенство верно.

г) Проверим верность равенства $\log_{0,5} 4 = -2$.
По определению логарифма, это означает, что должно выполняться равенство $(0.5)^{-2} = 4$.
Представим десятичную дробь 0,5 в виде обыкновенной дроби: $0,5 = \frac{1}{2}$.
Подставим это значение в левую часть равенства: $(\frac{1}{2})^{-2}$.
Используя свойство отрицательной степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получим: $(\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{2}{1})^2 = 2^2$.
Вычисляем: $2^2 = 4$.
Так как левая часть равна правой ($4 = 4$), исходное равенство верно.
Ответ: равенство верно.

482.-

а) $log_{2\sqrt{2}} 128 = \frac{14}{3}$;

б) $log_{0,2} 0,008 = 3$;

в) $log_{\sqrt{5}} 0,2 = -2$;

г) $log_{0,2} 125 = -3$.

а) Чтобы проверить верность равенства $\log_{2\sqrt{2}} 128 = \frac{14}{3}$, воспользуемся определением логарифма: $\log_b a = c$ равносильно $b^c = a$. В данном случае нам нужно проверить, выполняется ли равенство $(2\sqrt{2})^{\frac{14}{3}} = 128$.
Представим основание логарифма $2\sqrt{2}$ и число $128$ в виде степени с основанием 2.
Основание: $2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1+\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$.
Число под логарифмом: $128 = 2^7$.
Теперь подставим основание в виде степени в левую часть проверяемого равенства:
$(2\sqrt{2})^{\frac{14}{3}} = (2^{\frac{3}{2}})^{\frac{14}{3}} = 2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{14}{3}} = 2^7$.
Так как $2^7 = 128$, равенство $(2\sqrt{2})^{\frac{14}{3}} = 128$ является верным. Следовательно, исходное равенство также верно.
Ответ: равенство верное.

б) Проверим равенство $\log_{0,2} 0,008 = 3$. Согласно определению логарифма, это равенство будет верным, если $0,2^3 = 0,008$.
Вычислим левую часть:
$0,2^3 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,04 \cdot 0,2 = 0,008$.
Так как $0,008 = 0,008$, равенство является верным.
Можно также решить, представив десятичные дроби в виде обыкновенных:
$0,2 = \frac{1}{5}$ и $0,008 = \frac{8}{1000} = \frac{1}{125}$.
Проверяемое равенство: $(\frac{1}{5})^3 = \frac{1}{125}$.
$(\frac{1}{5})^3 = \frac{1^3}{5^3} = \frac{1}{125}$.
Равенство подтвердилось.
Ответ: равенство верное.

в) Проверим равенство $\log_{\sqrt{5}} 0,2 = -2$. По определению логарифма, это означает, что $(\sqrt{5})^{-2} = 0,2$.
Преобразуем левую часть равенства:
$(\sqrt{5})^{-2} = \frac{1}{(\sqrt{5})^2} = \frac{1}{5}$.
Теперь преобразуем правую часть равенства:
$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Поскольку левая и правая части равны ($\frac{1}{5} = \frac{1}{5}$), исходное равенство является верным.
Ответ: равенство верное.

г) Проверим равенство $\log_{0,2} 125 = -3$. Используя определение логарифма, мы должны проверить, верно ли, что $(0,2)^{-3} = 125$.
Представим основание $0,2$ в виде обыкновенной дроби: $0,2 = \frac{1}{5}$.
Теперь вычислим левую часть равенства:
$(0,2)^{-3} = (\frac{1}{5})^{-3} = (\frac{5}{1})^3 = 5^3$.
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$.
Левая часть равна $125$, что совпадает с правой частью. Таким образом, равенство является верным.
Ответ: равенство верное.

483. Найдите логарифмы данных чисел по основанию $a$:

а) 25, $\frac{1}{5}$, $\sqrt{5}$ при $a = 5$;

б) 64, $\frac{1}{8}$, 2 при $a = 8$;

в) 16, $\frac{1}{4}$, $\sqrt{2}$ при $a = 2$;

г) 27, $\frac{1}{9}$, $\sqrt{3}$ при $a = 3$.

а)

Логарифм по основанию $a$ числа $b$ — это показатель степени, в которую надо возвести $a$, чтобы получить $b$. Для основания $a=5$ найдем логарифмы для каждого числа.

1. Найдем $log_5 25$. Требуется найти степень $x$, в которую нужно возвести 5, чтобы получить 25. То есть, $5^x = 25$. Так как $5^2 = 25$, то $x=2$. Значит, $log_5 25 = 2$.

2. Найдем $log_5 (1/5)$. Ищем $x$ в уравнении $5^x = 1/5$. Так как $1/5 = 5^{-1}$, то $x=-1$. Значит, $log_5 (1/5) = -1$.

3. Найдем $log_5 \sqrt{5}$. Ищем $x$ в уравнении $5^x = \sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} = 5^{1/2}$, то $x=1/2$. Значит, $log_5 \sqrt{5} = 1/2$.

Ответ: 2; -1; $1/2$.

б)

Для основания $a=8$ найдем логарифмы для каждого числа.

1. Найдем $log_8 64$. Ищем $x$ в уравнении $8^x = 64$. Так как $8^2 = 64$, то $x=2$. Значит, $log_8 64 = 2$.

2. Найдем $log_8 (1/8)$. Ищем $x$ в уравнении $8^x = 1/8$. Так как $1/8 = 8^{-1}$, то $x=-1$. Значит, $log_8 (1/8) = -1$.

3. Найдем $log_8 2$. Ищем $x$ в уравнении $8^x = 2$. Представим 8 как степень 2: $8 = 2^3$. Тогда уравнение примет вид $(2^3)^x = 2^1$, или $2^{3x} = 2^1$. Приравнивая показатели степеней, получаем $3x = 1$, откуда $x = 1/3$. Значит, $log_8 2 = 1/3$.

Ответ: 2; -1; $1/3$.

в)

Для основания $a=2$ найдем логарифмы для каждого числа.

1. Найдем $log_2 16$. Ищем $x$ в уравнении $2^x = 16$. Так как $2^4 = 16$, то $x=4$. Значит, $log_2 16 = 4$.

2. Найдем $log_2 (1/4)$. Ищем $x$ в уравнении $2^x = 1/4$. Так как $1/4 = 1/2^2 = 2^{-2}$, то $x=-2$. Значит, $log_2 (1/4) = -2$.

3. Найдем $log_2 \sqrt{2}$. Ищем $x$ в уравнении $2^x = \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} = 2^{1/2}$, то $x=1/2$. Значит, $log_2 \sqrt{2} = 1/2$.

Ответ: 4; -2; $1/2$.

г)

Для основания $a=3$ найдем логарифмы для каждого числа.

1. Найдем $log_3 27$. Ищем $x$ в уравнении $3^x = 27$. Так как $3^3 = 27$, то $x=3$. Значит, $log_3 27 = 3$.

2. Найдем $log_3 (1/9)$. Ищем $x$ в уравнении $3^x = 1/9$. Так как $1/9 = 1/3^2 = 3^{-2}$, то $x=-2$. Значит, $log_3 (1/9) = -2$.

3. Найдем $log_3 \sqrt{3}$. Ищем $x$ в уравнении $3^x = \sqrt{3}$. Так как $\sqrt{3} = 3^{1/2}$, то $x=1/2$. Значит, $log_3 \sqrt{3} = 1/2$.

Ответ: 3; -2; $1/2$.

Найдите число $x$ (484—486).

484.

a) $\log_3 x = -1;$

б) $\log_{\frac{1}{6}} x = -3;$

в) $\log_5 x = 2;$

г) $\log_7 x = -2.$

Для решения всех уравнений используется определение логарифма: выражение $\log_a b = c$ (логарифм числа $b$ по основанию $a$ равен $c$) эквивалентно выражению $a^c = b$. Здесь $a$ – основание логарифма ($a > 0, a \neq 1$), $b$ – число под знаком логарифма ($b > 0$), $c$ – значение логарифма.

a) Дано уравнение $\log_3 x = -1$.

Согласно определению логарифма, мы можем переписать это уравнение в виде степени. Здесь основание $a=3$, значение логарифма $c=-1$, а искомое число – $x$.

Получаем: $x = 3^{-1}$.

По свойству степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), находим $x$:

$x = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) Дано уравнение $\log_{\frac{1}{6}} x = -3$.

Используем определение логарифма. Основание $a=\frac{1}{6}$, значение логарифма $c=-3$, искомое число – $x$.

Переходим к экспоненциальному уравнению:

$x = \left(\frac{1}{6}\right)^{-3}$.

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно перевернуть дробь и изменить знак степени на положительный: $\left(\frac{p}{q}\right)^{-n} = \left(\frac{q}{p}\right)^n$.

$x = \left(\frac{6}{1}\right)^3 = 6^3$.

Вычисляем значение: $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$.

Ответ: $216$.

в) Дано уравнение $\log_5 x = 2$.

По определению логарифма, где основание $a=5$ и значение $c=2$, получаем:

$x = 5^2$.

Вычисляем значение:

$x = 5 \cdot 5 = 25$.

Ответ: $25$.

г) Дано уравнение $\log_7 x = -2$.

Применяем определение логарифма. Основание $a=7$, значение логарифма $c=-2$.

Записываем эквивалентное уравнение в виде степени:

$x = 7^{-2}$.

Используя свойство степени с отрицательным показателем, получаем:

$x = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$.

Ответ: $\frac{1}{49}$.

485. a) $\log_4 x = -3$;

б) $\log_{\sqrt{5}} x = 0$;

в) $\log_{\frac{1}{7}} x = 1$;

г) $\log_{\frac{1}{2}} x = -3$.

а)

Дано логарифмическое уравнение $log_4 x = -3$.

Для нахождения неизвестного $x$ воспользуемся основным определением логарифма, согласно которому выражение $log_b a = c$ эквивалентно показательному уравнению $a = b^c$.

В данном случае основание логарифма $b = 4$, значение логарифма $c = -3$, а подлогарифмическое выражение $a = x$.

Подставим эти значения в показательное уравнение:

$x = 4^{-3}$

Теперь вычислим значение степени:

$x = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{4 \cdot 4 \cdot 4} = \frac{1}{64}$

Ответ: $x = \frac{1}{64}$.

б)

Дано логарифмическое уравнение $log_{\sqrt{5}} x = 0$.

По определению логарифма ($a = b^c$), где основание $b = \sqrt{5}$, значение $c = 0$ и аргумент $a = x$, получаем:

$x = (\sqrt{5})^0$

Любое ненулевое число, возведенное в степень 0, равно 1.

Следовательно, $x = 1$.

Ответ: $x = 1$.

в)

Дано логарифмическое уравнение $log_{\frac{1}{7}} x = 1$.

Используя определение логарифма ($a = b^c$), где основание $b = \frac{1}{7}$, значение $c = 1$ и аргумент $a = x$, получаем:

$x = (\frac{1}{7})^1$

Любое число в первой степени равно самому себе.

Следовательно, $x = \frac{1}{7}$.

Ответ: $x = \frac{1}{7}$.

г)

Дано логарифмическое уравнение $log_{\frac{1}{2}} x = -3$.

По определению логарифма ($a = b^c$), где основание $b = \frac{1}{2}$, значение $c = -3$ и аргумент $a = x$, запишем:

$x = (\frac{1}{2})^{-3}$

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, необходимо перевернуть дробь и поменять знак степени на противоположный:

$x = (\frac{2}{1})^3 = 2^3$

Вычислим результат:

$x = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Ответ: $x = 8$.

486. a) $\log_x 81 = 4$;

б) $\log_x \frac{1}{16} = 2$;

в) $\log_x \frac{1}{4} = -2$;

г) $\log_x 27 = 3$.

Для решения данных уравнений используется определение логарифма: $\log_b a = c$ эквивалентно $b^c = a$. Важно помнить, что основание логарифма $x$ должно удовлетворять условиям области допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $x \neq 1$.

а) $\log_x 81 = 4$

Перейдем от логарифмического уравнения к степенному, используя определение логарифма:

$x^4 = 81$

Чтобы найти $x$, нужно извлечь корень четвертой степени из 81. Представим 81 как степень числа 3:

$81 = 3^4$

Получаем уравнение:

$x^4 = 3^4$

Действительными корнями этого уравнения являются $x = 3$ и $x = -3$. Проверим их по ОДЗ ($x > 0$, $x \neq 1$):

• $x = 3$ удовлетворяет условиям ($3 > 0$ и $3 \neq 1$).
• $x = -3$ не удовлетворяет условию $x > 0$.

Следовательно, подходит только корень $x=3$.

Ответ: $3$

б) $\log_x \frac{1}{16} = 2$

По определению логарифма, данное уравнение эквивалентно:

$x^2 = \frac{1}{16}$

Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{16}}$

$x = \pm\frac{1}{4}$

Получаем два возможных корня: $x_1 = \frac{1}{4}$ и $x_2 = -\frac{1}{4}$. Проверим их по ОДЗ ($x > 0$, $x \neq 1$):

• $x = \frac{1}{4}$ удовлетворяет условиям ($\frac{1}{4} > 0$ и $\frac{1}{4} \neq 1$).
• $x = -\frac{1}{4}$ не удовлетворяет условию $x > 0$.

Таким образом, решением является $x = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

в) $\log_x \frac{1}{4} = -2$

Используя определение логарифма, перепишем уравнение в виде:

$x^{-2} = \frac{1}{4}$

Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$):

$\frac{1}{x^2} = \frac{1}{4}$

Из этой пропорции следует, что $x^2 = 4$.

Корнями этого уравнения являются $x = 2$ и $x = -2$. Проверим их по ОДЗ ($x > 0$, $x \neq 1$):

• $x = 2$ удовлетворяет условиям ($2 > 0$ и $2 \neq 1$).
• $x = -2$ не удовлетворяет условию $x > 0$.

Следовательно, решением является $x = 2$.

Ответ: $2$

г) $\log_x 27 = 3$

По определению логарифма, уравнение можно записать как:

$x^3 = 27$

Чтобы найти $x$, нужно извлечь кубический корень из 27. Представим 27 как степень числа 3:

$27 = 3^3$

Получаем уравнение:

$x^3 = 3^3$

Единственным действительным корнем этого уравнения является $x = 3$. Проверим его по ОДЗ ($x > 0$, $x \neq 1$):

• $x = 3$ удовлетворяет условиям ($3 > 0$ и $3 \neq 1$).

Таким образом, корень подходит.

Ответ: $3$

487.- Запишите число в виде логарифма с основанием $a$:

a) 2, $\frac{1}{2}$, 1, 0 при $a = 4$;

б) 3, -1, -3, 1 при $a = 3$;

в) 3, $\frac{1}{2}$, 0, -1 при $a = 2$;

г) 1, -2, 0, 3 при $a = 5$.

Чтобы представить любое число $x$ в виде логарифма с основанием $a$, используется основное свойство логарифма, которое можно записать в виде формулы: $x = \log_a(a^x)$. Применим эту формулу для решения каждого пункта задачи.

а) Запишем числа $2, \frac{1}{2}, 1, 0$ в виде логарифма с основанием $a=4$.

Для числа 2: $2 = \log_4(4^2) = \log_4(16)$

Для числа $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{2} = \log_4(4^{\frac{1}{2}}) = \log_4(\sqrt{4}) = \log_4(2)$

Для числа 1: $1 = \log_4(4^1) = \log_4(4)$

Для числа 0: $0 = \log_4(4^0) = \log_4(1)$

Ответ: $\log_4(16)$; $\log_4(2)$; $\log_4(4)$; $\log_4(1)$.

б) Запишем числа $3, -1, -3, 1$ в виде логарифма с основанием $a=3$.

Для числа 3: $3 = \log_3(3^3) = \log_3(27)$

Для числа -1: $-1 = \log_3(3^{-1}) = \log_3(\frac{1}{3})$

Для числа -3: $-3 = \log_3(3^{-3}) = \log_3(\frac{1}{3^3}) = \log_3(\frac{1}{27})$

Для числа 1: $1 = \log_3(3^1) = \log_3(3)$

Ответ: $\log_3(27)$; $\log_3(\frac{1}{3})$; $\log_3(\frac{1}{27})$; $\log_3(3)$.

в) Запишем числа $3, \frac{1}{2}, 0, -1$ в виде логарифма с основанием $a=2$.

Для числа 3: $3 = \log_2(2^3) = \log_2(8)$

Для числа $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{2} = \log_2(2^{\frac{1}{2}}) = \log_2(\sqrt{2})$

Для числа 0: $0 = \log_2(2^0) = \log_2(1)$

Для числа -1: $-1 = \log_2(2^{-1}) = \log_2(\frac{1}{2})$

Ответ: $\log_2(8)$; $\log_2(\sqrt{2})$; $\log_2(1)$; $\log_2(\frac{1}{2})$.

г) Запишем числа $1, -2, 0, 3$ в виде логарифма с основанием $a=5$.

Для числа 1: $1 = \log_5(5^1) = \log_5(5)$

Для числа -2: $-2 = \log_5(5^{-2}) = \log_5(\frac{1}{5^2}) = \log_5(\frac{1}{25})$

Для числа 0: $0 = \log_5(5^0) = \log_5(1)$

Для числа 3: $3 = \log_5(5^3) = \log_5(125)$

Ответ: $\log_5(5)$; $\log_5(\frac{1}{25})$; $\log_5(1)$; $\log_5(125)$.

Упростите выражения, пользуясь основным логарифмическим тождеством (488–490).

488.-

а) $1,7^{\log_{1,7} 2}$; б) $\pi^{\log_{\pi} 5,2}$; в) $2^{\log_2 5}$; г) $3,8^{\log_{3,8} 11}$.

Для решения этой задачи используется основное логарифмическое тождество. Оно является прямым следствием определения логарифма и гласит, что для любого положительного числа $a$, не равного 1 ($a > 0$, $a \neq 1$), и любого положительного числа $b$ ($b > 0$) справедливо следующее равенство:

$a^{\log_a b} = b$

Это тождество означает, что если число $a$ возвести в степень, равную логарифму числа $b$ по основанию $a$, то в результате получится число $b$. Применим это правило к каждому из выражений.

а) В выражении $1,7^{\log_{1,7} 2}$ основание степени $a=1,7$ совпадает с основанием логарифма в показателе. Число под знаком логарифма $b=2$. По основному логарифмическому тождеству, данное выражение равно $b$.

$1,7^{\log_{1,7} 2} = 2$

Ответ: 2

б) В выражении $\pi^{\log_{\pi} 5,2}$ основание степени $a=\pi$ также совпадает с основанием логарифма. Число под знаком логарифма равно $b=5,2$. Применяя основное логарифмическое тождество, получаем:

$\pi^{\log_{\pi} 5,2} = 5,2$

Ответ: 5,2

в) В выражении $2^{\log_2 5}$ основание степени $a=2$ и основание логарифма равны. Число под знаком логарифма $b=5$. Согласно основному логарифмическому тождеству:

$2^{\log_2 5} = 5$

Ответ: 5

г) В выражении $3,8^{\log_{3,8} 11}$ основание степени $a=3,8$ и основание логарифма совпадают. Число под знаком логарифма $b=11$. Используя основное логарифмическое тождество, находим:

$3,8^{\log_{3,8} 11} = 11$

Ответ: 11

489. а) $5^{1+\log_5 3}$;

б) $10^{1-\lg 2}$;

в) $(\frac{1}{7})^{1+\log_{\frac{1}{7}} 2}$;

г) $3^{2-\log_3 18}$.

Для решения этого примера используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.

Сначала преобразуем выражение, используя свойство степени:

$5^{1 + \log_5 3} = 5^1 \cdot 5^{\log_5 3}$

Теперь применим основное логарифмическое тождество ко второму множителю:

$5^{\log_5 3} = 3$

Подставим полученное значение и вычислим результат:

$5 \cdot 3 = 15$

Ответ: $15$

Для решения этого примера используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и основное логарифмическое тождество. Учтем, что $\lg$ — это десятичный логарифм, то есть $\lg x = \log_{10} x$.

Преобразуем выражение, используя свойство степени:

$10^{1 - \lg 2} = \frac{10^1}{10^{\lg 2}}$

Применим основное логарифмическое тождество к знаменателю:

$10^{\lg 2} = 10^{\log_{10} 2} = 2$

Подставим полученное значение и вычислим результат:

$\frac{10}{2} = 5$

Ответ: $5$

Для решения этого примера используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.

Преобразуем выражение, используя свойство степени:

$(\frac{1}{7})^{1 + \log_{\frac{1}{7}} 2} = (\frac{1}{7})^1 \cdot (\frac{1}{7})^{\log_{\frac{1}{7}} 2}$

Применим основное логарифмическое тождество, где основание $a = \frac{1}{7}$:

$(\frac{1}{7})^{\log_{\frac{1}{7}} 2} = 2$

Подставим полученное значение и вычислим результат:

$\frac{1}{7} \cdot 2 = \frac{2}{7}$

Ответ: $\frac{2}{7}$

Для решения этого примера используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.

Преобразуем выражение, используя свойство степени:

$3^{2 - \log_3 18} = \frac{3^2}{3^{\log_3 18}}$

Применим основное логарифмическое тождество к знаменателю:

$3^{\log_3 18} = 18$

Подставим полученное значение и вычислим результат:

$\frac{3^2}{18} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

490. a) $4^{2 \log_4 3}$;

б) $5^{3 \log_5 \frac{1}{2}};

в) $(\frac{1}{2})^{4 \log_{\frac{1}{2}} 3};

г) $6^{2 \log_6 5}.$

а) $4^{2 \log_4 3}$

Для решения этого выражения воспользуемся свойством степени логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$ и основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$.
1. Сначала преобразуем показатель степени, внеся множитель $2$ под знак логарифма в качестве степени числа $3$:
$2 \log_4 3 = \log_4 (3^2) = \log_4 9$
2. Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:
$4^{2 \log_4 3} = 4^{\log_4 9}$
3. Применяя основное логарифмическое тождество, где основание степени и основание логарифма равны ($a=4$), получаем:
$4^{\log_4 9} = 9$

Ответ: $9$

б) $5^{3 \log_5 \frac{1}{2}}$

Решаем аналогично предыдущему примеру, используя те же свойства логарифмов.
1. Преобразуем показатель степени, внеся множитель $3$ под знак логарифма:
$3 \log_5 \frac{1}{2} = \log_5 \left(\left(\frac{1}{2}\right)^3\right) = \log_5 \frac{1}{8}$
2. Подставим в исходное выражение:
$5^{3 \log_5 \frac{1}{2}} = 5^{\log_5 \frac{1}{8}}$
3. Применим основное логарифмическое тождество:
$5^{\log_5 \frac{1}{8}} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$

в) $\left(\frac{1}{2}\right)^{4 \log_{\frac{1}{2}} 3}$

В этом примере основание степени $\left(\frac{1}{2}\right)$ совпадает с основанием логарифма, поэтому решение аналогично.
1. Преобразуем показатель степени, используя свойство $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$:
$4 \log_{\frac{1}{2}} 3 = \log_{\frac{1}{2}} (3^4) = \log_{\frac{1}{2}} 81$
2. Подставим преобразованный показатель в исходное выражение:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{4 \log_{\frac{1}{2}} 3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 81}$
3. Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 81} = 81$

Ответ: $81$

г) $6^{2 \log_6 5}$

Применяем тот же подход, что и в предыдущих примерах.
1. Преобразуем показатель степени, внеся множитель $2$ под знак логарифма:
$2 \log_6 5 = \log_6 (5^2) = \log_6 25$
2. Подставим в исходное выражение:
$6^{2 \log_6 5} = 6^{\log_6 25}$
3. Применим основное логарифмическое тождество:
$6^{\log_6 25} = 25$

Ответ: $25$