Номер 486, страница 236 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 486, страница 236.

Условие.

486. a) $\log_x 81 = 4$;

б) $\log_x \frac{1}{16} = 2$;

в) $\log_x \frac{1}{4} = -2$;

г) $\log_x 27 = 3$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения данных уравнений используется определение логарифма: $\log_b a = c$ эквивалентно $b^c = a$. Важно помнить, что основание логарифма $x$ должно удовлетворять условиям области допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $x \neq 1$.

а) $\log_x 81 = 4$

Перейдем от логарифмического уравнения к степенному, используя определение логарифма:

$x^4 = 81$

Чтобы найти $x$, нужно извлечь корень четвертой степени из 81. Представим 81 как степень числа 3:

$81 = 3^4$

Получаем уравнение:

$x^4 = 3^4$

Действительными корнями этого уравнения являются $x = 3$ и $x = -3$. Проверим их по ОДЗ ($x > 0$, $x \neq 1$):

• $x = 3$ удовлетворяет условиям ($3 > 0$ и $3 \neq 1$).
• $x = -3$ не удовлетворяет условию $x > 0$.

Следовательно, подходит только корень $x=3$.

Ответ: $3$

б) $\log_x \frac{1}{16} = 2$

По определению логарифма, данное уравнение эквивалентно:

$x^2 = \frac{1}{16}$

Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{16}}$

$x = \pm\frac{1}{4}$

Получаем два возможных корня: $x_1 = \frac{1}{4}$ и $x_2 = -\frac{1}{4}$. Проверим их по ОДЗ ($x > 0$, $x \neq 1$):

• $x = \frac{1}{4}$ удовлетворяет условиям ($\frac{1}{4} > 0$ и $\frac{1}{4} \neq 1$).
• $x = -\frac{1}{4}$ не удовлетворяет условию $x > 0$.

Таким образом, решением является $x = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

в) $\log_x \frac{1}{4} = -2$

Используя определение логарифма, перепишем уравнение в виде:

$x^{-2} = \frac{1}{4}$

Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$):

$\frac{1}{x^2} = \frac{1}{4}$

Из этой пропорции следует, что $x^2 = 4$.

Корнями этого уравнения являются $x = 2$ и $x = -2$. Проверим их по ОДЗ ($x > 0$, $x \neq 1$):

• $x = 2$ удовлетворяет условиям ($2 > 0$ и $2 \neq 1$).
• $x = -2$ не удовлетворяет условию $x > 0$.

Следовательно, решением является $x = 2$.

Ответ: $2$

г) $\log_x 27 = 3$

По определению логарифма, уравнение можно записать как:

$x^3 = 27$

Чтобы найти $x$, нужно извлечь кубический корень из 27. Представим 27 как степень числа 3:

$27 = 3^3$

Получаем уравнение:

$x^3 = 3^3$

Единственным действительным корнем этого уравнения является $x = 3$. Проверим его по ОДЗ ($x > 0$, $x \neq 1$):

• $x = 3$ удовлетворяет условиям ($3 > 0$ и $3 \neq 1$).

Таким образом, корень подходит.

Ответ: $3$