Номер 488, страница 236 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 488, страница 236.

Условие.

Упростите выражения, пользуясь основным логарифмическим тождеством (488–490).

488.-

а) $1,7^{\log_{1,7} 2}$; б) $\pi^{\log_{\pi} 5,2}$; в) $2^{\log_2 5}$; г) $3,8^{\log_{3,8} 11}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения этой задачи используется основное логарифмическое тождество. Оно является прямым следствием определения логарифма и гласит, что для любого положительного числа $a$, не равного 1 ($a > 0$, $a \neq 1$), и любого положительного числа $b$ ($b > 0$) справедливо следующее равенство:

$a^{\log_a b} = b$

Это тождество означает, что если число $a$ возвести в степень, равную логарифму числа $b$ по основанию $a$, то в результате получится число $b$. Применим это правило к каждому из выражений.

а) В выражении $1,7^{\log_{1,7} 2}$ основание степени $a=1,7$ совпадает с основанием логарифма в показателе. Число под знаком логарифма $b=2$. По основному логарифмическому тождеству, данное выражение равно $b$.

$1,7^{\log_{1,7} 2} = 2$

Ответ: 2

б) В выражении $\pi^{\log_{\pi} 5,2}$ основание степени $a=\pi$ также совпадает с основанием логарифма. Число под знаком логарифма равно $b=5,2$. Применяя основное логарифмическое тождество, получаем:

$\pi^{\log_{\pi} 5,2} = 5,2$

Ответ: 5,2

в) В выражении $2^{\log_2 5}$ основание степени $a=2$ и основание логарифма равны. Число под знаком логарифма $b=5$. Согласно основному логарифмическому тождеству:

$2^{\log_2 5} = 5$

Ответ: 5

г) В выражении $3,8^{\log_{3,8} 11}$ основание степени $a=3,8$ и основание логарифма совпадают. Число под знаком логарифма $b=11$. Используя основное логарифмическое тождество, находим:

$3,8^{\log_{3,8} 11} = 11$

Ответ: 11