Номер 494, страница 237 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 494, страница 237.

Условие.

494. — Известно, что $log_5 2 = a$ и $log_5 3 = b$. Выразите через $a$ и $b$:

a) $log_5 72$;

б) $log_5 15$;

в) $log_5 12$;

г) $log_5 30$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения этой задачи мы будем использовать основные свойства логарифмов. Нам дано, что $ \log_5 2 = a $ и $ \log_5 3 = b $. Ключевыми свойствами, которые нам понадобятся, являются:
1. Логарифм произведения: $ \log_c (x \cdot y) = \log_c x + \log_c y $
2. Логарифм степени: $ \log_c (x^k) = k \cdot \log_c x $
3. Логарифм с одинаковым основанием и аргументом: $ \log_c c = 1 $

а) $\log_5 72$
Сначала разложим число 72 на простые множители. $ 72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2 $.
Теперь представим логарифм через эти множители:
$ \log_5 72 = \log_5 (2^3 \cdot 3^2) $
Используя свойство логарифма произведения, мы можем разделить это на сумму логарифмов:
$ \log_5 (2^3) + \log_5 (3^2) $
Далее, используя свойство логарифма степени, выносим степени за знак логарифма:
$ 3 \cdot \log_5 2 + 2 \cdot \log_5 3 $
Наконец, подставляем данные нам значения $ \log_5 2 = a $ и $ \log_5 3 = b $:
$ 3a + 2b $
Ответ: $ 3a + 2b $.

б) $\log_5 15$
Разложим число 15 на множители. $ 15 = 5 \cdot 3 $.
Представим логарифм через эти множители:
$ \log_5 15 = \log_5 (5 \cdot 3) $
Используем свойство логарифма произведения:
$ \log_5 5 + \log_5 3 $
Мы знаем, что $ \log_5 5 = 1 $ и по условию $ \log_5 3 = b $. Подставляем эти значения:
$ 1 + b $
Ответ: $ b + 1 $.

в) $\log_5 12$
Разложим число 12 на простые множители. $ 12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3 $.
Представим логарифм через эти множители:
$ \log_5 12 = \log_5 (2^2 \cdot 3) $
Используя свойство логарифма произведения:
$ \log_5 (2^2) + \log_5 3 $
Используя свойство логарифма степени:
$ 2 \cdot \log_5 2 + \log_5 3 $
Подставляем данные нам значения $ \log_5 2 = a $ и $ \log_5 3 = b $:
$ 2a + b $
Ответ: $ 2a + b $.

г) $\log_5 30$
Разложим число 30 на множители. $ 30 = 5 \cdot 6 = 5 \cdot 2 \cdot 3 $.
Представим логарифм через эти множители:
$ \log_5 30 = \log_5 (5 \cdot 2 \cdot 3) $
Используем свойство логарифма произведения:
$ \log_5 5 + \log_5 2 + \log_5 3 $
Подставляем известные значения $ \log_5 5 = 1 $, $ \log_5 2 = a $ и $ \log_5 3 = b $:
$ 1 + a + b $
Ответ: $ a + b + 1 $.