Номер 499, страница 241 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 499, страница 241.
№499 (с. 241)
Условие. №499 (с. 241)
скриншот условия

Найдите область определения выражения (499—500).
499.—
a) $\log_{\pi} (10 - 5x)$;
б) $\log_{5} (9 - x^2)$;
в) $\log_{3} (x - 4)$;
г) $\log_{0.3} (x^2 - 16).$
Решение 1. №499 (с. 241)

Решение 5. №499 (с. 241)
а) Область определения логарифмической функции находится из условия, что ее аргумент должен быть строго положительным. Для выражения $\log_{\pi}(10 - 5x)$ это условие записывается в виде неравенства:
$10 - 5x > 0$
Перенесем $-5x$ в правую часть неравенства (или $10$ в правую и умножим на $-1$ с изменением знака):
$10 > 5x$
Разделим обе части на 5:
$2 > x$, что эквивалентно $x < 2$.
Следовательно, область определения — это интервал $(-\infty; 2)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.
б) Аргумент логарифма в выражении $\log_{5}(9 - x^2)$ должен быть положительным:
$9 - x^2 > 0$
Это квадратичное неравенство. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(3 - x)(3 + x) > 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Корнями уравнения $(3 - x)(3 + x) = 0$ являются $x = 3$ и $x = -3$. Нанесем эти точки на числовую ось. Они разделят ее на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знак выражения на каждом интервале.
- Для $x \in (-3; 3)$, например $x=0$: $(3-0)(3+0) = 9 > 0$.
- Для $x \in (3; +\infty)$, например $x=4$: $(3-4)(3+4) = -7 < 0$.
- Для $x \in (-\infty; -3)$, например $x=-4$: $(3-(-4))(3+(-4)) = 7 \cdot (-1) = -7 < 0$.
Неравенство выполняется на интервале, где выражение положительно.
Ответ: $x \in (-3; 3)$.
в) Для выражения $\log_{3}(x - 4)$ его аргумент должен быть строго больше нуля:
$x - 4 > 0$
Перенесем 4 в правую часть неравенства:
$x > 4$
Область определения — это все значения $x$, которые строго больше 4.
Ответ: $x \in (4; +\infty)$.
г) Аргумент логарифма в выражении $\log_{0.3}(x^2 - 16)$ должен быть положительным:
$x^2 - 16 > 0$
Разложим левую часть на множители:
$(x - 4)(x + 4) > 0$
Решим неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(x - 4)(x + 4) = 0$ равны $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$. Парабола $y=x^2-16$ имеет ветви, направленные вверх, и пересекает ось абсцисс в точках -4 и 4. Значения функции положительны там, где график находится выше оси $x$, то есть левее -4 и правее 4.
Следовательно, решение неравенства — это объединение двух интервалов: $x < -4$ или $x > 4$.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 499 расположенного на странице 241 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №499 (с. 241), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.