Номер 499, страница 241 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 499, страница 241.

Условие.

Найдите область определения выражения (499—500).

499.—

a) $\log_{\pi} (10 - 5x)$;

б) $\log_{5} (9 - x^2)$;

в) $\log_{3} (x - 4)$;

г) $\log_{0.3} (x^2 - 16).$

Решение 1.

Решение 5.

а) Область определения логарифмической функции находится из условия, что ее аргумент должен быть строго положительным. Для выражения $\log_{\pi}(10 - 5x)$ это условие записывается в виде неравенства:
$10 - 5x > 0$
Перенесем $-5x$ в правую часть неравенства (или $10$ в правую и умножим на $-1$ с изменением знака):
$10 > 5x$
Разделим обе части на 5:
$2 > x$, что эквивалентно $x < 2$.
Следовательно, область определения — это интервал $(-\infty; 2)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

б) Аргумент логарифма в выражении $\log_{5}(9 - x^2)$ должен быть положительным:
$9 - x^2 > 0$
Это квадратичное неравенство. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(3 - x)(3 + x) > 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Корнями уравнения $(3 - x)(3 + x) = 0$ являются $x = 3$ и $x = -3$. Нанесем эти точки на числовую ось. Они разделят ее на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знак выражения на каждом интервале.
- Для $x \in (-3; 3)$, например $x=0$: $(3-0)(3+0) = 9 > 0$.
- Для $x \in (3; +\infty)$, например $x=4$: $(3-4)(3+4) = -7 < 0$.
- Для $x \in (-\infty; -3)$, например $x=-4$: $(3-(-4))(3+(-4)) = 7 \cdot (-1) = -7 < 0$.
Неравенство выполняется на интервале, где выражение положительно.
Ответ: $x \in (-3; 3)$.

в) Для выражения $\log_{3}(x - 4)$ его аргумент должен быть строго больше нуля:
$x - 4 > 0$
Перенесем 4 в правую часть неравенства:
$x > 4$
Область определения — это все значения $x$, которые строго больше 4.
Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

г) Аргумент логарифма в выражении $\log_{0.3}(x^2 - 16)$ должен быть положительным:
$x^2 - 16 > 0$
Разложим левую часть на множители:
$(x - 4)(x + 4) > 0$
Решим неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(x - 4)(x + 4) = 0$ равны $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$. Парабола $y=x^2-16$ имеет ветви, направленные вверх, и пересекает ось абсцисс в точках -4 и 4. Значения функции положительны там, где график находится выше оси $x$, то есть левее -4 и правее 4.
Следовательно, решение неравенства — это объединение двух интервалов: $x < -4$ или $x > 4$.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$.