Номер 502, страница 241 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 502, страница 241.

Условие.

502. В) $log_3 5.1$ и $log_3 4.9$;

г) $log_{0.2} 1.8$ и $log_{0.2} 2.1$.

а) $log_{\sqrt{2}} 3$ и $1$;

б) $log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 1.9$ и $log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 2.5$;

В) $log_{\pi} 2.9$ и $1$;

г) $log_{0.7} \sqrt{2}$ и $log_{0.7} 0.3$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

в) Для сравнения $\log_3 5,1$ и $\log_3 4,9$ воспользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Основание логарифма $a=3$. Так как $a > 1$, функция $y = \log_3 x$ является возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение логарифма. Сравним аргументы: $5,1 > 4,9$. Следовательно, $\log_3 5,1 > \log_3 4,9$.
Ответ: $\log_3 5,1 > \log_3 4,9$.

г) Сравниваем $\log_{0,2} 1,8$ и $\log_{0,2} 2,1$. Основание логарифма $a=0,2$. Так как $0 < a < 1$, функция $y = \log_{0,2} x$ является убывающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение логарифма. Сравним аргументы: $1,8 < 2,1$. Следовательно, $\log_{0,2} 1,8 > \log_{0,2} 2,1$.
Ответ: $\log_{0,2} 1,8 > \log_{0,2} 2,1$.

а) Чтобы сравнить $\log_{\sqrt{2}} 3$ и $1$, представим $1$ как логарифм с основанием $\sqrt{2}$. Используя свойство $\log_a a = 1$, получаем $1 = \log_{\sqrt{2}} \sqrt{2}$. Теперь сравним $\log_{\sqrt{2}} 3$ и $\log_{\sqrt{2}} \sqrt{2}$. Основание $a = \sqrt{2} \approx 1,414 > 1$, значит, логарифмическая функция возрастающая. Сравниваем аргументы: $3 > \sqrt{2}$ (поскольку $3^2=9$ и $(\sqrt{2})^2=2$). Так как функция возрастающая, то $\log_{\sqrt{2}} 3 > \log_{\sqrt{2}} \sqrt{2}$.
Ответ: $\log_{\sqrt{2}} 3 > 1$.

б) Сравниваем $\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 1,9$ и $\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 2,5$. Основание логарифма $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Так как $\sqrt{3} > 1$, то $0 < \frac{1}{\sqrt{3}} < 1$. Следовательно, функция $y = \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} x$ является убывающей. Сравним аргументы: $1,9 < 2,5$. Так как функция убывающая, меньшему аргументу соответствует большее значение логарифма. Значит, $\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 1,9 > \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 2,5$.
Ответ: $\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 1,9 > \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 2,5$.

в) Чтобы сравнить $\log_{\pi} 2,9$ и $1$, представим $1$ как логарифм с основанием $\pi$. Имеем $1 = \log_{\pi} \pi$. Теперь сравним $\log_{\pi} 2,9$ и $\log_{\pi} \pi$. Основание $a = \pi \approx 3,14 > 1$, значит, логарифмическая функция возрастающая. Сравним аргументы: $2,9 < \pi$. Так как функция возрастающая, меньшему аргументу соответствует меньшее значение логарифма. Следовательно, $\log_{\pi} 2,9 < \log_{\pi} \pi$.
Ответ: $\log_{\pi} 2,9 < 1$.

г) Сравниваем $\log_{0,7} \sqrt{2}$ и $\log_{0,7} 0,3$. Основание логарифма $a=0,7$. Так как $0 < a < 1$, функция $y = \log_{0,7} x$ является убывающей. Сравним аргументы: $\sqrt{2}$ и $0,3$. Поскольку $\sqrt{2} \approx 1,414$, то $\sqrt{2} > 0,3$. Так как функция убывающая, большему аргументу соответствует меньшее значение логарифма. Значит, $\log_{0,7} \sqrt{2} < \log_{0,7} 0,3$.
Ответ: $\log_{0,7} \sqrt{2} < \log_{0,7} 0,3$.