Номер 497, страница 237 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 497, страница 237.

Условие.

497.— Найдите x, если:

a) $ \log_6 x = 3 \log_6 2 + 0.5 \log_6 25 - 2 \log_6 3 $

б) $ \lg x = \frac{1}{2} \lg 5a - 3 \lg b + 4 \lg c $

в) $ \lg x = 5 \lg m + \frac{2}{3} \lg n - \frac{1}{4} \lg p $

г) $ \log_4 x = \frac{1}{3} \log_4 216 - 2 \log_4 10 + 4 \log_4 3 $

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения данных уравнений мы будем использовать следующие свойства логарифмов:

• Свойство степени: $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$
• Свойство произведения: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$
• Свойство частного: $\log_a b - \log_a c = \log_a (b / c)$
• Если $\log_a x = \log_a y$, то $x = y$ (при условии, что $x>0, y>0$)

а) Дано уравнение: $\log_6 x = 3 \log_6 2 + 0,5 \log_6 25 - 2 \log_6 3$.

1. Применим свойство степени к каждому члену в правой части уравнения:

$3 \log_6 2 = \log_6 (2^3) = \log_6 8$

$0,5 \log_6 25 = \log_6 (25^{0,5}) = \log_6 (\sqrt{25}) = \log_6 5$

$2 \log_6 3 = \log_6 (3^2) = \log_6 9$

2. Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$\log_6 x = \log_6 8 + \log_6 5 - \log_6 9$

3. Применим свойства произведения и частного для логарифмов:

$\log_6 x = \log_6 (8 \cdot 5) - \log_6 9 = \log_6 40 - \log_6 9 = \log_6 (\frac{40}{9})$

4. Так как основания логарифмов равны, то и их аргументы равны:

$x = \frac{40}{9}$

Ответ: $x = \frac{40}{9}$.

б) Дано уравнение: $\lg x = \frac{1}{2} \lg 5a - 3 \lg b + 4 \lg c$.

1. Применим свойство степени к правой части:

$\frac{1}{2} \lg 5a = \lg((5a)^{\frac{1}{2}}) = \lg \sqrt{5a}$

$3 \lg b = \lg(b^3)$

$4 \lg c = \lg(c^4)$

2. Подставим в исходное уравнение:

$\lg x = \lg \sqrt{5a} - \lg (b^3) + \lg (c^4)$

3. Используем свойства частного и произведения:

$\lg x = \lg (\frac{\sqrt{5a}}{b^3}) + \lg (c^4) = \lg (\frac{\sqrt{5a} \cdot c^4}{b^3})$

4. Приравниваем аргументы логарифмов:

$x = \frac{c^4 \sqrt{5a}}{b^3}$

Ответ: $x = \frac{c^4 \sqrt{5a}}{b^3}$.

в) Дано уравнение: $\lg x = 5 \lg m + \frac{2}{3} \lg n - \frac{1}{4} \lg p$.

1. Применим свойство степени:

$5 \lg m = \lg (m^5)$

$\frac{2}{3} \lg n = \lg(n^{\frac{2}{3}}) = \lg \sqrt[3]{n^2}$

$\frac{1}{4} \lg p = \lg(p^{\frac{1}{4}}) = \lg \sqrt[4]{p}$

2. Подставим в уравнение:

$\lg x = \lg (m^5) + \lg (n^{\frac{2}{3}}) - \lg (p^{\frac{1}{4}})$

3. Объединим логарифмы, используя свойства произведения и частного:

$\lg x = \lg (\frac{m^5 \cdot n^{\frac{2}{3}}}{p^{\frac{1}{4}}})$

4. Приравняем аргументы:

$x = \frac{m^5 n^{\frac{2}{3}}}{p^{\frac{1}{4}}}$ или $x = \frac{m^5 \sqrt[3]{n^2}}{\sqrt[4]{p}}$

Ответ: $x = \frac{m^5 n^{\frac{2}{3}}}{p^{\frac{1}{4}}}$.

г) Дано уравнение: $\log_4 x = \frac{1}{3} \log_4 216 - 2 \log_4 10 + 4 \log_4 3$.

1. Преобразуем правую часть с помощью свойства степени:

$\frac{1}{3} \log_4 216 = \log_4 (216^{\frac{1}{3}}) = \log_4 (\sqrt[3]{216}) = \log_4 6$

$2 \log_4 10 = \log_4 (10^2) = \log_4 100$

$4 \log_4 3 = \log_4 (3^4) = \log_4 81$

2. Подставим преобразованные члены в уравнение:

$\log_4 x = \log_4 6 - \log_4 100 + \log_4 81$

3. Сгруппируем и применим свойства произведения и частного:

$\log_4 x = (\log_4 6 + \log_4 81) - \log_4 100 = \log_4(6 \cdot 81) - \log_4 100 = \log_4 486 - \log_4 100 = \log_4(\frac{486}{100})$

4. Сократим дробь $\frac{486}{100} = \frac{243}{50}$.

$\log_4 x = \log_4(\frac{243}{50})$

5. Приравняем аргументы логарифмов:

$x = \frac{243}{50}$

Ответ: $x = \frac{243}{50}$.