Страница 237 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

491.— Прологарифмируйте по основанию 3 $(a > 0, b > 0)$:

а) $(\sqrt[5]{a^3b})^{\frac{2}{3}}$;

б) $\left(\frac{a^{10}}{\sqrt[6]{b^5}}\right)^{-0,2}$;

в) $9a^4\sqrt[5]{b}$;

г) $\frac{b^2}{27a^7}$.

а) Чтобы прологарифмировать выражение $(\sqrt[5]{a^3b})^{\frac{2}{3}}$ по основанию 3, сначала упростим его, используя свойства степеней. Корень n-ой степени можно представить как степень $\frac{1}{n}$, а возведение степени в степень — как произведение показателей.

$(\sqrt[5]{a^3b})^{\frac{2}{3}} = ((a^3b)^{\frac{1}{5}})^{\frac{2}{3}} = (a^3b)^{\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3}} = (a^3b)^{\frac{2}{15}}$

Теперь возьмем логарифм по основанию 3 от полученного выражения и применим свойства логарифмов: логарифм степени $\log_c(x^p) = p \log_c x$ и логарифм произведения $\log_c(xy) = \log_c x + \log_c y$.

$\log_3\left((\sqrt[5]{a^3b})^{\frac{2}{3}}\right) = \log_3\left((a^3b)^{\frac{2}{15}}\right) = \frac{2}{15}\log_3(a^3b)$

$\frac{2}{15}\log_3(a^3b) = \frac{2}{15}(\log_3(a^3) + \log_3 b) = \frac{2}{15}(3\log_3 a + \log_3 b)$

Раскрыв скобки, получаем окончательный результат:

$\frac{2}{15} \cdot 3\log_3 a + \frac{2}{15}\log_3 b = \frac{6}{15}\log_3 a + \frac{2}{15}\log_3 b = \frac{2}{5}\log_3 a + \frac{2}{15}\log_3 b$

Ответ: $\frac{2}{5}\log_3 a + \frac{2}{15}\log_3 b$.

б) Прологарифмируем выражение $(\frac{a^{10}}{\sqrt[6]{b^5}})^{-0.2}$ по основанию 3. Сначала преобразуем его. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $-0.2 = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$. Корень представим в виде степени: $\sqrt[6]{b^5} = b^{\frac{5}{6}}$.

Выражение принимает вид: $(\frac{a^{10}}{b^{\frac{5}{6}}})^{-\frac{1}{5}}$.

Возьмем логарифм по основанию 3 и применим свойства логарифма степени и логарифма частного $\log_c(\frac{x}{y}) = \log_c x - \log_c y$:

$\log_3\left(\left(\frac{a^{10}}{b^{\frac{5}{6}}}\right)^{-\frac{1}{5}}\right) = -\frac{1}{5}\log_3\left(\frac{a^{10}}{b^{\frac{5}{6}}}\right) = -\frac{1}{5}(\log_3(a^{10}) - \log_3(b^{\frac{5}{6}}))$

Применим свойство логарифма степени еще раз:

$-\frac{1}{5}(10\log_3 a - \frac{5}{6}\log_3 b)$

Раскроем скобки:

$-\frac{1}{5} \cdot 10\log_3 a - (-\frac{1}{5}) \cdot \frac{5}{6}\log_3 b = -2\log_3 a + \frac{5}{30}\log_3 b = -2\log_3 a + \frac{1}{6}\log_3 b$

Ответ: $-2\log_3 a + \frac{1}{6}\log_3 b$.

в) Прологарифмируем выражение $9a^4\sqrt[5]{b}$ по основанию 3. Представим число $9$ как $3^2$, а корень $\sqrt[5]{b}$ как степень $b^{\frac{1}{5}}$. Выражение станет $3^2 a^4 b^{\frac{1}{5}}$.

Применим свойство логарифма произведения $\log_c(xyz) = \log_c x + \log_c y + \log_c z$:

$\log_3(3^2 a^4 b^{\frac{1}{5}}) = \log_3(3^2) + \log_3(a^4) + \log_3(b^{\frac{1}{5}})$

Теперь используем свойство логарифма степени и то, что $\log_3 3 = 1$:

$2\log_3 3 + 4\log_3 a + \frac{1}{5}\log_3 b = 2 \cdot 1 + 4\log_3 a + \frac{1}{5}\log_3 b = 2 + 4\log_3 a + \frac{1}{5}\log_3 b$

Ответ: $2 + 4\log_3 a + \frac{1}{5}\log_3 b$.

г) Прологарифмируем выражение $\frac{b^2}{27a^7}$ по основанию 3. Представим число $27$ как $3^3$. Выражение примет вид $\frac{b^2}{3^3 a^7}$.

Применим свойство логарифма частного $\log_c(\frac{x}{y}) = \log_c x - \log_c y$:

$\log_3\left(\frac{b^2}{3^3 a^7}\right) = \log_3(b^2) - \log_3(3^3 a^7)$

К второму слагаемому применим свойство логарифма произведения:

$\log_3(b^2) - (\log_3(3^3) + \log_3(a^7))$

Раскроем скобки и применим свойство логарифма степени, учитывая, что $\log_3 3 = 1$:

$2\log_3 b - (3\log_3 3 + 7\log_3 a) = 2\log_3 b - (3 \cdot 1 + 7\log_3 a) = 2\log_3 b - 3 - 7\log_3 a$

Ответ: $2\log_3 b - 7\log_3 a - 3$.

Прологарифмируйте по основанию 10, где $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$ (492—493).

492. a) $100 \sqrt{ab^3c}$

б) $\frac{a^5}{0.1c^2 \sqrt{b}}$

в) $\sqrt[3]{10 a^{\frac{1}{3}} b^4 c^{-\frac{1}{2}}}$

г) $\frac{0.01c^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{2}} b^3}$

Для решения задачи воспользуемся следующими свойствами десятичного логарифма (логарифма по основанию 10, обозначаемого как $\lg$):

• Логарифм произведения: $\lg(x \cdot y) = \lg x + \lg y$
• Логарифм частного: $\lg(\frac{x}{y}) = \lg x - \lg y$
• Логарифм степени: $\lg(x^p) = p \cdot \lg x$
• Связь с корнем: $\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$
• $\lg(10^n) = n$

Условие $a > 0, b > 0, c > 0$ обеспечивает существование всех логарифмов.

Прологарифмируем выражение $100 \sqrt{ab^3c}$.

$\lg(100 \sqrt{ab^3c}) = \lg(100) + \lg(\sqrt{ab^3c})$
$= \lg(10^2) + \lg((ab^3c)^{\frac{1}{2}})$
$= 2 + \frac{1}{2}\lg(ab^3c)$
$= 2 + \frac{1}{2}(\lg a + \lg b^3 + \lg c)$
$= 2 + \frac{1}{2}(\lg a + 3\lg b + \lg c)$
$= 2 + \frac{1}{2}\lg a + \frac{3}{2}\lg b + \frac{1}{2}\lg c$

Ответ: $2 + \frac{1}{2}\lg a + \frac{3}{2}\lg b + \frac{1}{2}\lg c$.

Прологарифмируем выражение $\frac{a^5}{0,1c^2\sqrt{b}}$.

$\lg\left(\frac{a^5}{0,1c^2\sqrt{b}}\right) = \lg(a^5) - \lg(0,1c^2\sqrt{b})$
$= 5\lg a - (\lg(0,1) + \lg(c^2) + \lg(\sqrt{b}))$
$= 5\lg a - (\lg(10^{-1}) + 2\lg c + \lg(b^{\frac{1}{2}}))$
$= 5\lg a - (-1 + 2\lg c + \frac{1}{2}\lg b)$
$= 5\lg a + 1 - 2\lg c - \frac{1}{2}\lg b$

Ответ: $5\lg a - \frac{1}{2}\lg b - 2\lg c + 1$.

Прологарифмируем выражение $\sqrt[3]{10 a^{\frac{1}{3}} b^4 c^{-\frac{1}{2}}}$.

$\lg\left(\sqrt[3]{10 a^{\frac{1}{3}} b^4 c^{-\frac{1}{2}}}\right) = \lg\left(\left(10 a^{\frac{1}{3}} b^4 c^{-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}\right)$
$= \frac{1}{3}\lg\left(10 a^{\frac{1}{3}} b^4 c^{-\frac{1}{2}}\right)$
$= \frac{1}{3}\left(\lg 10 + \lg\left(a^{\frac{1}{3}}\right) + \lg(b^4) + \lg\left(c^{-\frac{1}{2}}\right)\right)$
$= \frac{1}{3}\left(1 + \frac{1}{3}\lg a + 4\lg b - \frac{1}{2}\lg c\right)$
$= \frac{1}{3} + \frac{1}{9}\lg a + \frac{4}{3}\lg b - \frac{1}{6}\lg c$

Ответ: $\frac{1}{9}\lg a + \frac{4}{3}\lg b - \frac{1}{6}\lg c + \frac{1}{3}$.

Прологарифмируем выражение $\frac{0,01c^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{2}}b^3}$.

$\lg\left(\frac{0,01c^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{2}}b^3}\right) = \lg\left(0,01c^{\frac{2}{3}}\right) - \lg\left(a^{\frac{1}{2}}b^3\right)$
$= \left(\lg(0,01) + \lg\left(c^{\frac{2}{3}}\right)\right) - \left(\lg\left(a^{\frac{1}{2}}\right) + \lg(b^3)\right)$
$= \left(\lg(10^{-2}) + \frac{2}{3}\lg c\right) - \left(\frac{1}{2}\lg a + 3\lg b\right)$
$= -2 + \frac{2}{3}\lg c - \frac{1}{2}\lg a - 3\lg b$

Ответ: $-\frac{1}{2}\lg a - 3\lg b + \frac{2}{3}\lg c - 2$.

493. а) $10^3 a^4 b^2 c^{-3}$

б) $-\frac{b^{\frac{2}{3}}}{10^5 a^6 c^5}$

В) $10^{-4} a^2 b^5 c^{\frac{2}{3}}$

г) $-\frac{c^{\frac{7}{4}}}{10^7 a^{\frac{2}{3}} b^8}$

а) $10^3 a^4 b^{\frac{1}{2}} c^{-3}$

Чтобы упростить данное выражение, мы преобразуем член с отрицательной степенью в дробь с положительной степенью. Согласно свойству степеней, $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

В нашем случае, $c^{-3} = \frac{1}{c^3}$.

Также вычислим числовой коэффициент: $10^3 = 1000$.

Теперь подставим эти значения обратно в исходное выражение:

$1000 \cdot a^4 \cdot b^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{c^3}$

Объединив все члены в одну дробь, получаем:

$\frac{1000 a^4 b^{\frac{1}{2}}}{c^3}$

Ответ: $\frac{1000 a^4 b^{\frac{1}{2}}}{c^3}$

б) $-\frac{b^{\frac{2}{3}}}{10^5 a^6 c^5}$

В данном выражении все переменные уже имеют положительные степени и находятся в соответствующем месте дроби (числителе или знаменателе). Единственное, что можно сделать для упрощения, — это вычислить числовую часть в знаменателе.

Вычислим $10^5$:

$10^5 = 100000$.

Подставим это значение в знаменатель дроби:

$-\frac{b^{\frac{2}{3}}}{100000 a^6 c^5}$

Выражение больше не упрощается.

Ответ: $-\frac{b^{\frac{2}{3}}}{100000 a^6 c^5}$

в) $10^{-4} a^2 b^5 c^{\frac{2}{3}}$

В этом выражении есть член с отрицательной степенью, $10^{-4}$. Используем свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, чтобы преобразовать его.

$10^{-4} = \frac{1}{10^4}$.

Вычислим значение знаменателя:

$10^4 = 10000$.

Таким образом, $10^{-4} = \frac{1}{10000}$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение и запишем всё в виде одной дроби:

$\frac{1}{10000} \cdot a^2 b^5 c^{\frac{2}{3}} = \frac{a^2 b^5 c^{\frac{2}{3}}}{10000}$

Ответ: $\frac{a^2 b^5 c^{\frac{2}{3}}}{10000}$

г) $-\frac{c^{\frac{7}{4}}}{10^7 a^{\frac{2}{3}} b^8}$

Данное выражение представляет собой дробь, в которой все степени уже положительны. Упрощение заключается в вычислении числового коэффициента в знаменателе.

Вычислим $10^7$:

$10^7 = 10000000$.

Подставим полученное значение в знаменатель дроби:

$-\frac{c^{\frac{7}{4}}}{10000000 a^{\frac{2}{3}} b^8}$

Дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $-\frac{c^{\frac{7}{4}}}{10000000 a^{\frac{2}{3}} b^8}$

494. — Известно, что $log_5 2 = a$ и $log_5 3 = b$. Выразите через $a$ и $b$:

a) $log_5 72$;

б) $log_5 15$;

в) $log_5 12$;

г) $log_5 30$.

Для решения этой задачи мы будем использовать основные свойства логарифмов. Нам дано, что $ \log_5 2 = a $ и $ \log_5 3 = b $. Ключевыми свойствами, которые нам понадобятся, являются:
1. Логарифм произведения: $ \log_c (x \cdot y) = \log_c x + \log_c y $
2. Логарифм степени: $ \log_c (x^k) = k \cdot \log_c x $
3. Логарифм с одинаковым основанием и аргументом: $ \log_c c = 1 $

а) $\log_5 72$
Сначала разложим число 72 на простые множители. $ 72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2 $.
Теперь представим логарифм через эти множители:
$ \log_5 72 = \log_5 (2^3 \cdot 3^2) $
Используя свойство логарифма произведения, мы можем разделить это на сумму логарифмов:
$ \log_5 (2^3) + \log_5 (3^2) $
Далее, используя свойство логарифма степени, выносим степени за знак логарифма:
$ 3 \cdot \log_5 2 + 2 \cdot \log_5 3 $
Наконец, подставляем данные нам значения $ \log_5 2 = a $ и $ \log_5 3 = b $:
$ 3a + 2b $
Ответ: $ 3a + 2b $.

б) $\log_5 15$
Разложим число 15 на множители. $ 15 = 5 \cdot 3 $.
Представим логарифм через эти множители:
$ \log_5 15 = \log_5 (5 \cdot 3) $
Используем свойство логарифма произведения:
$ \log_5 5 + \log_5 3 $
Мы знаем, что $ \log_5 5 = 1 $ и по условию $ \log_5 3 = b $. Подставляем эти значения:
$ 1 + b $
Ответ: $ b + 1 $.

в) $\log_5 12$
Разложим число 12 на простые множители. $ 12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3 $.
Представим логарифм через эти множители:
$ \log_5 12 = \log_5 (2^2 \cdot 3) $
Используя свойство логарифма произведения:
$ \log_5 (2^2) + \log_5 3 $
Используя свойство логарифма степени:
$ 2 \cdot \log_5 2 + \log_5 3 $
Подставляем данные нам значения $ \log_5 2 = a $ и $ \log_5 3 = b $:
$ 2a + b $
Ответ: $ 2a + b $.

г) $\log_5 30$
Разложим число 30 на множители. $ 30 = 5 \cdot 6 = 5 \cdot 2 \cdot 3 $.
Представим логарифм через эти множители:
$ \log_5 30 = \log_5 (5 \cdot 2 \cdot 3) $
Используем свойство логарифма произведения:
$ \log_5 5 + \log_5 2 + \log_5 3 $
Подставляем известные значения $ \log_5 5 = 1 $, $ \log_5 2 = a $ и $ \log_5 3 = b $:
$ 1 + a + b $
Ответ: $ a + b + 1 $.

Вычислите (495–496).

495.—

a) $\lg 8 + \lg 125;$

б) $\log_2 7 - \log_2 \frac{7}{16};$

в) $\log_{12} 4 + \log_{12} 36;$

г) $\lg 13 - \lg 130.$

a)

Для вычисления значения выражения $\text{lg } 8 + \text{lg } 125$ воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием. Напомним, что $\text{lg}$ — это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10.

Свойство суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\text{lg } 8 + \text{lg } 125 = \text{lg}(8 \cdot 125)$

Теперь вычислим произведение чисел в скобках:

$8 \cdot 125 = 1000$

Таким образом, наше выражение равно $\text{lg } 1000$.

По определению логарифма, $\text{lg } 1000$ — это степень, в которую нужно возвести 10, чтобы получить 1000. Так как $1000 = 10^3$, получаем:

$\text{lg } 1000 = \log_{10}10^3 = 3$

Ответ: 3

б)

Для вычисления значения выражения $\log_2 7 - \log_2 \frac{7}{16}$ воспользуемся свойством разности логарифмов с одинаковым основанием.

Свойство разности логарифмов: $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\log_2 7 - \log_2 \frac{7}{16} = \log_2(7 \div \frac{7}{16})$

Теперь вычислим частное в скобках:

$7 \div \frac{7}{16} = 7 \cdot \frac{16}{7} = 16$

Таким образом, наше выражение равно $\log_2 16$.

По определению логарифма, $\log_2 16$ — это степень, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 16. Так как $16 = 2^4$, получаем:

$\log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$

Ответ: 4

в)

Для вычисления значения выражения $\log_{12} 4 + \log_{12} 36$ воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием, как и в пункте а).

Свойство суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\log_{12} 4 + \log_{12} 36 = \log_{12}(4 \cdot 36)$

Теперь вычислим произведение чисел в скобках:

$4 \cdot 36 = 144$

Таким образом, наше выражение равно $\log_{12} 144$.

По определению логарифма, $\log_{12} 144$ — это степень, в которую нужно возвести 12, чтобы получить 144. Так как $144 = 12^2$, получаем:

$\log_{12} 144 = \log_{12} 12^2 = 2$

Ответ: 2

г)

Для вычисления значения выражения $\text{lg } 13 - \text{lg } 130$ воспользуемся свойством разности логарифмов с одинаковым основанием, как и в пункте б). Основание логарифма равно 10.

Свойство разности логарифмов: $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\text{lg } 13 - \text{lg } 130 = \text{lg}(\frac{13}{130})$

Теперь вычислим частное в скобках:

$\frac{13}{130} = \frac{1}{10}$

Таким образом, наше выражение равно $\text{lg } (\frac{1}{10})$.

По определению логарифма, $\text{lg } (\frac{1}{10})$ — это степень, в которую нужно возвести 10, чтобы получить $\frac{1}{10}$. Так как $\frac{1}{10} = 10^{-1}$, получаем:

$\text{lg } (\frac{1}{10}) = \log_{10} 10^{-1} = -1$

Ответ: -1

496. a) $\frac{\lg 8 + \lg 18}{2 \lg 2 + \lg 3};$

б) $\frac{\log_3 16}{\log_3 4};$

в) $\log_2 11 - \log_2 44;$

г) $\log_{0,3} 9 - 2 \log_{0,3} 10.$

а) Для решения данного примера воспользуемся свойствами логарифмов. Сначала упростим числитель, используя свойство суммы логарифмов $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$:
$\lg 8 + \lg 18 = \lg(8 \cdot 18) = \lg 144$.
Теперь упростим знаменатель, используя свойство степени логарифма $n \log_a x = \log_a(x^n)$ и свойство суммы логарифмов:
$2 \lg 2 + \lg 3 = \lg(2^2) + \lg 3 = \lg 4 + \lg 3 = \lg(4 \cdot 3) = \lg 12$.
Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде:
$\frac{\lg 144}{\lg 12}$.
Далее применим формулу перехода к новому основанию $\frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b$:
$\frac{\lg 144}{\lg 12} = \log_{12} 144$.
Так как $12^2 = 144$, то $\log_{12} 144 = 2$.
Ответ: 2

б) Для решения данного примера воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$.
В данном случае основание $c=3$, $a=16$ и $b=4$:
$\frac{\log_3 16}{\log_3 4} = \log_4 16$.
Нужно найти степень, в которую нужно возвести 4, чтобы получить 16. Так как $4^2 = 16$, то значение логарифма равно 2.
$\log_4 16 = 2$.
Ответ: 2

в) Для решения данного примера воспользуемся свойством разности логарифмов $\log_a x - \log_a y = \log_a(\frac{x}{y})$:
$\log_2 11 - \log_2 44 = \log_2(\frac{11}{44})$.
Упростим дробь под знаком логарифма:
$\frac{11}{44} = \frac{1}{4}$.
Получаем выражение:
$\log_2(\frac{1}{4})$.
Чтобы найти значение этого логарифма, представим $\frac{1}{4}$ как степень числа 2.
$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
Следовательно:
$\log_2(2^{-2}) = -2$.
Ответ: -2

г) Сначала применим свойство степени логарифма $n \log_a x = \log_a(x^n)$ ко второму члену выражения:
$2 \log_{0,3} 10 = \log_{0,3}(10^2) = \log_{0,3} 100$.
Теперь выражение принимает вид:
$\log_{0,3} 9 - \log_{0,3} 100$.
Далее воспользуемся свойством разности логарифмов $\log_a x - \log_a y = \log_a(\frac{x}{y})$:
$\log_{0,3} 9 - \log_{0,3} 100 = \log_{0,3}(\frac{9}{100})$.
Чтобы найти значение этого логарифма, представим аргумент $\frac{9}{100}$ в виде степени основания $0,3$.
$\frac{9}{100} = 0,09 = (0,3)^2$.
Таким образом, получаем:
$\log_{0,3}((0,3)^2)$.
По определению логарифма $\log_b(b^x) = x$, получаем:
$\log_{0,3}((0,3)^2) = 2$.
Ответ: 2

497.— Найдите x, если:

a) $ \log_6 x = 3 \log_6 2 + 0.5 \log_6 25 - 2 \log_6 3 $

б) $ \lg x = \frac{1}{2} \lg 5a - 3 \lg b + 4 \lg c $

в) $ \lg x = 5 \lg m + \frac{2}{3} \lg n - \frac{1}{4} \lg p $

г) $ \log_4 x = \frac{1}{3} \log_4 216 - 2 \log_4 10 + 4 \log_4 3 $

Для решения данных уравнений мы будем использовать следующие свойства логарифмов:

• Свойство степени: $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$
• Свойство произведения: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$
• Свойство частного: $\log_a b - \log_a c = \log_a (b / c)$
• Если $\log_a x = \log_a y$, то $x = y$ (при условии, что $x>0, y>0$)

а) Дано уравнение: $\log_6 x = 3 \log_6 2 + 0,5 \log_6 25 - 2 \log_6 3$.

1. Применим свойство степени к каждому члену в правой части уравнения:

$3 \log_6 2 = \log_6 (2^3) = \log_6 8$

$0,5 \log_6 25 = \log_6 (25^{0,5}) = \log_6 (\sqrt{25}) = \log_6 5$

$2 \log_6 3 = \log_6 (3^2) = \log_6 9$

2. Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$\log_6 x = \log_6 8 + \log_6 5 - \log_6 9$

3. Применим свойства произведения и частного для логарифмов:

$\log_6 x = \log_6 (8 \cdot 5) - \log_6 9 = \log_6 40 - \log_6 9 = \log_6 (\frac{40}{9})$

4. Так как основания логарифмов равны, то и их аргументы равны:

$x = \frac{40}{9}$

Ответ: $x = \frac{40}{9}$.

б) Дано уравнение: $\lg x = \frac{1}{2} \lg 5a - 3 \lg b + 4 \lg c$.

1. Применим свойство степени к правой части:

$\frac{1}{2} \lg 5a = \lg((5a)^{\frac{1}{2}}) = \lg \sqrt{5a}$

$3 \lg b = \lg(b^3)$

$4 \lg c = \lg(c^4)$

2. Подставим в исходное уравнение:

$\lg x = \lg \sqrt{5a} - \lg (b^3) + \lg (c^4)$

3. Используем свойства частного и произведения:

$\lg x = \lg (\frac{\sqrt{5a}}{b^3}) + \lg (c^4) = \lg (\frac{\sqrt{5a} \cdot c^4}{b^3})$

4. Приравниваем аргументы логарифмов:

$x = \frac{c^4 \sqrt{5a}}{b^3}$

Ответ: $x = \frac{c^4 \sqrt{5a}}{b^3}$.

в) Дано уравнение: $\lg x = 5 \lg m + \frac{2}{3} \lg n - \frac{1}{4} \lg p$.

1. Применим свойство степени:

$5 \lg m = \lg (m^5)$

$\frac{2}{3} \lg n = \lg(n^{\frac{2}{3}}) = \lg \sqrt[3]{n^2}$

$\frac{1}{4} \lg p = \lg(p^{\frac{1}{4}}) = \lg \sqrt[4]{p}$

2. Подставим в уравнение:

$\lg x = \lg (m^5) + \lg (n^{\frac{2}{3}}) - \lg (p^{\frac{1}{4}})$

3. Объединим логарифмы, используя свойства произведения и частного:

$\lg x = \lg (\frac{m^5 \cdot n^{\frac{2}{3}}}{p^{\frac{1}{4}}})$

4. Приравняем аргументы:

$x = \frac{m^5 n^{\frac{2}{3}}}{p^{\frac{1}{4}}}$ или $x = \frac{m^5 \sqrt[3]{n^2}}{\sqrt[4]{p}}$

Ответ: $x = \frac{m^5 n^{\frac{2}{3}}}{p^{\frac{1}{4}}}$.

г) Дано уравнение: $\log_4 x = \frac{1}{3} \log_4 216 - 2 \log_4 10 + 4 \log_4 3$.

1. Преобразуем правую часть с помощью свойства степени:

$\frac{1}{3} \log_4 216 = \log_4 (216^{\frac{1}{3}}) = \log_4 (\sqrt[3]{216}) = \log_4 6$

$2 \log_4 10 = \log_4 (10^2) = \log_4 100$

$4 \log_4 3 = \log_4 (3^4) = \log_4 81$

2. Подставим преобразованные члены в уравнение:

$\log_4 x = \log_4 6 - \log_4 100 + \log_4 81$

3. Сгруппируем и применим свойства произведения и частного:

$\log_4 x = (\log_4 6 + \log_4 81) - \log_4 100 = \log_4(6 \cdot 81) - \log_4 100 = \log_4 486 - \log_4 100 = \log_4(\frac{486}{100})$

4. Сократим дробь $\frac{486}{100} = \frac{243}{50}$.

$\log_4 x = \log_4(\frac{243}{50})$

5. Приравняем аргументы логарифмов:

$x = \frac{243}{50}$

Ответ: $x = \frac{243}{50}$.

498. Докажите:

а) $\log_{\frac{1}{3}} 3 + \log_3 \frac{1}{2} < -2;$

б) $4^{\log_5 7} = 7^{\log_5 4};$

в) $\log_3 7 + \log_7 3 > 2;$

г) $3^{\log_2 5} = 5^{\log_2 3}.$

а)

Для доказательства неравенства $ \log_{\frac{1}{3}} 3 + \log_3 \frac{1}{2} < -2 $ преобразуем его левую часть.

Вычислим значение первого слагаемого, используя свойство $ \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b $: $ \log_{\frac{1}{3}} 3 = \log_{3^{-1}} 3 = \frac{1}{-1} \log_3 3 = -1 \cdot 1 = -1 $.

Преобразуем второе слагаемое, используя свойство $ \log_a (b^k) = k \log_a b $: $ \log_3 \frac{1}{2} = \log_3 (2^{-1}) = -1 \cdot \log_3 2 = -\log_3 2 $.

После подстановки преобразованных выражений исходное неравенство принимает вид: $ -1 - \log_3 2 < -2 $.

Прибавим 1 к обеим частям неравенства: $ -\log_3 2 < -1 $.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $ \log_3 2 > 1 $.

Представим 1 в виде логарифма по основанию 3: $ 1 = \log_3 3 $. Неравенство принимает вид: $ \log_3 2 > \log_3 3 $.

Так как основание логарифма $ 3 > 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_3 x $ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Следовательно, неравенство $ \log_3 2 > \log_3 3 $ было бы верным, только если бы $ 2 > 3 $.

Мы получили ложное неравенство $ 2 > 3 $, что означает, что исходное утверждение неверно. Все преобразования были равносильными, следовательно, должно выполняться обратное неравенство.

Ответ: Утверждение в задаче неверно. На самом деле, $ \log_{\frac{1}{3}} 3 + \log_3 \frac{1}{2} > -2 $.

б)

Докажем тождество $ 4^{\log_5 7} = 7^{\log_5 4} $. Прологарифмируем обе части равенства по основанию 5. Это можно сделать, так как обе части являются положительными числами.

Логарифм левой части: $ \log_5(4^{\log_5 7}) $. Используя свойство логарифма степени $ \log_a(b^c) = c \cdot \log_a b $, получаем: $ \log_5 7 \cdot \log_5 4 $.

Логарифм правой части: $ \log_5(7^{\log_5 4}) $. Используя то же свойство, получаем: $ \log_5 4 \cdot \log_5 7 $.

Так как от перестановки множителей произведение не меняется, $ \log_5 7 \cdot \log_5 4 = \log_5 4 \cdot \log_5 7 $. Поскольку логарифмы левой и правой частей по одному и тому же основанию равны, то и сами выражения равны.

Ответ: Тождество $ 4^{\log_5 7} = 7^{\log_5 4} $ доказано.

в)

Докажем неравенство $ \log_3 7 + \log_7 3 > 2 $. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $ \log_b a = \frac{1}{\log_a b} $. Применим ее ко второму слагаемому: $ \log_7 3 = \frac{1}{\log_3 7} $.

Обозначим $ x = \log_3 7 $. Тогда неравенство примет вид: $ x + \frac{1}{x} > 2 $.

Так как основание логарифма $ 3 > 1 $ и число под логарифмом $ 7 > 1 $, то значение логарифма $ x = \log_3 7 $ положительно. $ x = \log_3 7 > \log_3 3 = 1 $, значит $ x > 1 $.

Умножим обе части неравенства $ x + \frac{1}{x} > 2 $ на $ x $. Так как $ x > 0 $, знак неравенства не изменится: $ x^2 + 1 > 2x $.

Перенесем все члены в левую часть: $ x^2 - 2x + 1 > 0 $.

Левая часть является полным квадратом разности: $ (x-1)^2 > 0 $.

Квадрат любого действительного числа, не равного нулю, строго больше нуля. В нашем случае $ x = \log_3 7 $. Так как $ 3^1 = 3 \neq 7 $, то $ x \neq 1 $, следовательно $ x-1 \neq 0 $. Таким образом, неравенство $ (x-1)^2 > 0 $ является истинным.

Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также истинно.

Ответ: Неравенство $ \log_3 7 + \log_7 3 > 2 $ доказано.

г)

Докажем тождество $ 3^{\log_2 5} = 5^{\log_2 3} $. Данное равенство является частным случаем свойства $ a^{\log_c b} = b^{\log_c a} $. Докажем его, прологарифмировав обе части по основанию 2.

Логарифм левой части: $ \log_2(3^{\log_2 5}) $. По свойству логарифма степени $ \log_a(b^c) = c \cdot \log_a b $: $ \log_2 5 \cdot \log_2 3 $.

Логарифм правой части: $ \log_2(5^{\log_2 3}) $. По тому же свойству: $ \log_2 3 \cdot \log_2 5 $.

Логарифмы левой и правой частей равны, следовательно, равны и сами выражения.

Ответ: Тождество $ 3^{\log_2 5} = 5^{\log_2 3} $ доказано.