Номер 491, страница 237 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 491, страница 237.

Условие.

491.— Прологарифмируйте по основанию 3 $(a > 0, b > 0)$:

а) $(\sqrt[5]{a^3b})^{\frac{2}{3}}$;

б) $\left(\frac{a^{10}}{\sqrt[6]{b^5}}\right)^{-0,2}$;

в) $9a^4\sqrt[5]{b}$;

г) $\frac{b^2}{27a^7}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Чтобы прологарифмировать выражение $(\sqrt[5]{a^3b})^{\frac{2}{3}}$ по основанию 3, сначала упростим его, используя свойства степеней. Корень n-ой степени можно представить как степень $\frac{1}{n}$, а возведение степени в степень — как произведение показателей.

$(\sqrt[5]{a^3b})^{\frac{2}{3}} = ((a^3b)^{\frac{1}{5}})^{\frac{2}{3}} = (a^3b)^{\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3}} = (a^3b)^{\frac{2}{15}}$

Теперь возьмем логарифм по основанию 3 от полученного выражения и применим свойства логарифмов: логарифм степени $\log_c(x^p) = p \log_c x$ и логарифм произведения $\log_c(xy) = \log_c x + \log_c y$.

$\log_3\left((\sqrt[5]{a^3b})^{\frac{2}{3}}\right) = \log_3\left((a^3b)^{\frac{2}{15}}\right) = \frac{2}{15}\log_3(a^3b)$

$\frac{2}{15}\log_3(a^3b) = \frac{2}{15}(\log_3(a^3) + \log_3 b) = \frac{2}{15}(3\log_3 a + \log_3 b)$

Раскрыв скобки, получаем окончательный результат:

$\frac{2}{15} \cdot 3\log_3 a + \frac{2}{15}\log_3 b = \frac{6}{15}\log_3 a + \frac{2}{15}\log_3 b = \frac{2}{5}\log_3 a + \frac{2}{15}\log_3 b$

Ответ: $\frac{2}{5}\log_3 a + \frac{2}{15}\log_3 b$.

б) Прологарифмируем выражение $(\frac{a^{10}}{\sqrt[6]{b^5}})^{-0.2}$ по основанию 3. Сначала преобразуем его. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $-0.2 = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$. Корень представим в виде степени: $\sqrt[6]{b^5} = b^{\frac{5}{6}}$.

Выражение принимает вид: $(\frac{a^{10}}{b^{\frac{5}{6}}})^{-\frac{1}{5}}$.

Возьмем логарифм по основанию 3 и применим свойства логарифма степени и логарифма частного $\log_c(\frac{x}{y}) = \log_c x - \log_c y$:

$\log_3\left(\left(\frac{a^{10}}{b^{\frac{5}{6}}}\right)^{-\frac{1}{5}}\right) = -\frac{1}{5}\log_3\left(\frac{a^{10}}{b^{\frac{5}{6}}}\right) = -\frac{1}{5}(\log_3(a^{10}) - \log_3(b^{\frac{5}{6}}))$

Применим свойство логарифма степени еще раз:

$-\frac{1}{5}(10\log_3 a - \frac{5}{6}\log_3 b)$

Раскроем скобки:

$-\frac{1}{5} \cdot 10\log_3 a - (-\frac{1}{5}) \cdot \frac{5}{6}\log_3 b = -2\log_3 a + \frac{5}{30}\log_3 b = -2\log_3 a + \frac{1}{6}\log_3 b$

Ответ: $-2\log_3 a + \frac{1}{6}\log_3 b$.

в) Прологарифмируем выражение $9a^4\sqrt[5]{b}$ по основанию 3. Представим число $9$ как $3^2$, а корень $\sqrt[5]{b}$ как степень $b^{\frac{1}{5}}$. Выражение станет $3^2 a^4 b^{\frac{1}{5}}$.

Применим свойство логарифма произведения $\log_c(xyz) = \log_c x + \log_c y + \log_c z$:

$\log_3(3^2 a^4 b^{\frac{1}{5}}) = \log_3(3^2) + \log_3(a^4) + \log_3(b^{\frac{1}{5}})$

Теперь используем свойство логарифма степени и то, что $\log_3 3 = 1$:

$2\log_3 3 + 4\log_3 a + \frac{1}{5}\log_3 b = 2 \cdot 1 + 4\log_3 a + \frac{1}{5}\log_3 b = 2 + 4\log_3 a + \frac{1}{5}\log_3 b$

Ответ: $2 + 4\log_3 a + \frac{1}{5}\log_3 b$.

г) Прологарифмируем выражение $\frac{b^2}{27a^7}$ по основанию 3. Представим число $27$ как $3^3$. Выражение примет вид $\frac{b^2}{3^3 a^7}$.

Применим свойство логарифма частного $\log_c(\frac{x}{y}) = \log_c x - \log_c y$:

$\log_3\left(\frac{b^2}{3^3 a^7}\right) = \log_3(b^2) - \log_3(3^3 a^7)$

К второму слагаемому применим свойство логарифма произведения:

$\log_3(b^2) - (\log_3(3^3) + \log_3(a^7))$

Раскроем скобки и применим свойство логарифма степени, учитывая, что $\log_3 3 = 1$:

$2\log_3 b - (3\log_3 3 + 7\log_3 a) = 2\log_3 b - (3 \cdot 1 + 7\log_3 a) = 2\log_3 b - 3 - 7\log_3 a$

Ответ: $2\log_3 b - 7\log_3 a - 3$.