Номер 490, страница 236 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 490, страница 236.

Условие.

490. a) $4^{2 \log_4 3}$;

б) $5^{3 \log_5 \frac{1}{2}};

в) $(\frac{1}{2})^{4 \log_{\frac{1}{2}} 3};

г) $6^{2 \log_6 5}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $4^{2 \log_4 3}$

Для решения этого выражения воспользуемся свойством степени логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$ и основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$.
1. Сначала преобразуем показатель степени, внеся множитель $2$ под знак логарифма в качестве степени числа $3$:
$2 \log_4 3 = \log_4 (3^2) = \log_4 9$
2. Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:
$4^{2 \log_4 3} = 4^{\log_4 9}$
3. Применяя основное логарифмическое тождество, где основание степени и основание логарифма равны ($a=4$), получаем:
$4^{\log_4 9} = 9$

Ответ: $9$

б) $5^{3 \log_5 \frac{1}{2}}$

Решаем аналогично предыдущему примеру, используя те же свойства логарифмов.
1. Преобразуем показатель степени, внеся множитель $3$ под знак логарифма:
$3 \log_5 \frac{1}{2} = \log_5 \left(\left(\frac{1}{2}\right)^3\right) = \log_5 \frac{1}{8}$
2. Подставим в исходное выражение:
$5^{3 \log_5 \frac{1}{2}} = 5^{\log_5 \frac{1}{8}}$
3. Применим основное логарифмическое тождество:
$5^{\log_5 \frac{1}{8}} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$

в) $\left(\frac{1}{2}\right)^{4 \log_{\frac{1}{2}} 3}$

В этом примере основание степени $\left(\frac{1}{2}\right)$ совпадает с основанием логарифма, поэтому решение аналогично.
1. Преобразуем показатель степени, используя свойство $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$:
$4 \log_{\frac{1}{2}} 3 = \log_{\frac{1}{2}} (3^4) = \log_{\frac{1}{2}} 81$
2. Подставим преобразованный показатель в исходное выражение:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{4 \log_{\frac{1}{2}} 3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 81}$
3. Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 81} = 81$

Ответ: $81$

г) $6^{2 \log_6 5}$

Применяем тот же подход, что и в предыдущих примерах.
1. Преобразуем показатель степени, внеся множитель $2$ под знак логарифма:
$2 \log_6 5 = \log_6 (5^2) = \log_6 25$
2. Подставим в исходное выражение:
$6^{2 \log_6 5} = 6^{\log_6 25}$
3. Применим основное логарифмическое тождество:
$6^{\log_6 25} = 25$

Ответ: $25$