Номер 484, страница 236 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 484, страница 236.

Условие.

Найдите число $x$ (484—486).

484.

a) $\log_3 x = -1;$

б) $\log_{\frac{1}{6}} x = -3;$

в) $\log_5 x = 2;$

г) $\log_7 x = -2.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения всех уравнений используется определение логарифма: выражение $\log_a b = c$ (логарифм числа $b$ по основанию $a$ равен $c$) эквивалентно выражению $a^c = b$. Здесь $a$ – основание логарифма ($a > 0, a \neq 1$), $b$ – число под знаком логарифма ($b > 0$), $c$ – значение логарифма.

a) Дано уравнение $\log_3 x = -1$.

Согласно определению логарифма, мы можем переписать это уравнение в виде степени. Здесь основание $a=3$, значение логарифма $c=-1$, а искомое число – $x$.

Получаем: $x = 3^{-1}$.

По свойству степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), находим $x$:

$x = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) Дано уравнение $\log_{\frac{1}{6}} x = -3$.

Используем определение логарифма. Основание $a=\frac{1}{6}$, значение логарифма $c=-3$, искомое число – $x$.

Переходим к экспоненциальному уравнению:

$x = \left(\frac{1}{6}\right)^{-3}$.

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно перевернуть дробь и изменить знак степени на положительный: $\left(\frac{p}{q}\right)^{-n} = \left(\frac{q}{p}\right)^n$.

$x = \left(\frac{6}{1}\right)^3 = 6^3$.

Вычисляем значение: $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$.

Ответ: $216$.

в) Дано уравнение $\log_5 x = 2$.

По определению логарифма, где основание $a=5$ и значение $c=2$, получаем:

$x = 5^2$.

Вычисляем значение:

$x = 5 \cdot 5 = 25$.

Ответ: $25$.

г) Дано уравнение $\log_7 x = -2$.

Применяем определение логарифма. Основание $a=7$, значение логарифма $c=-2$.

Записываем эквивалентное уравнение в виде степени:

$x = 7^{-2}$.

Используя свойство степени с отрицательным показателем, получаем:

$x = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$.

Ответ: $\frac{1}{49}$.