Номер 481, страница 236 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 481, страница 236.

Условие.

481. а) $\log_{\sqrt{2}} 8 = 6;$

б) $\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 27 = -6;$

в) $\log_{\frac{1}{3}} 9 = -2;$

г) $\log_{0,5} 4 = -2.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для проверки верности равенства $\log_{\sqrt{2}} 8 = 6$ воспользуемся определением логарифма: $\log_b a = c$ равносильно тому, что $b^c = a$.
В данном случае основание $b = \sqrt{2}$, число под логарифмом $a = 8$ и значение логарифма $c = 6$.
Проверим, выполняется ли равенство $(\sqrt{2})^6 = 8$.
Представим основание в виде степени: $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$.
Тогда левая часть равенства преобразуется к виду: $(\sqrt{2})^6 = (2^{\frac{1}{2}})^6$.
По свойству возведения степени в степень $((x^m)^n = x^{m \cdot n})$, получаем: $2^{\frac{1}{2} \cdot 6} = 2^3$.
Вычисляем: $2^3 = 8$.
Так как левая и правая части равенства совпали ($8=8$), исходное утверждение верно.
Ответ: равенство верно.

б) Проверим верность равенства $\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 27 = -6$.
По определению логарифма, данное равенство будет верным, если $(\frac{1}{\sqrt{3}})^{-6} = 27$.
Преобразуем основание логарифма: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} = 3^{-\frac{1}{2}}$.
Подставим это в левую часть проверяемого равенства: $(3^{-\frac{1}{2}})^{-6}$.
Используя свойство степени, получаем: $3^{(-\frac{1}{2}) \cdot (-6)} = 3^3$.
Вычисляем: $3^3 = 27$.
Так как мы получили $27 = 27$, исходное равенство верно.
Ответ: равенство верно.

в) Проверим верность равенства $\log_{\frac{1}{3}} 9 = -2$.
Согласно определению логарифма, это равенство справедливо, если $(\frac{1}{3})^{-2} = 9$.
Преобразуем левую часть равенства. Основание $\frac{1}{3}$ можно записать как $3^{-1}$.
Тогда $(\frac{1}{3})^{-2} = (3^{-1})^{-2}$.
По свойству степени: $3^{(-1) \cdot (-2)} = 3^2$.
Вычисляем: $3^2 = 9$.
Так как левая часть равна правой ($9=9$), исходное равенство верно.
Ответ: равенство верно.

г) Проверим верность равенства $\log_{0,5} 4 = -2$.
По определению логарифма, это означает, что должно выполняться равенство $(0.5)^{-2} = 4$.
Представим десятичную дробь 0,5 в виде обыкновенной дроби: $0,5 = \frac{1}{2}$.
Подставим это значение в левую часть равенства: $(\frac{1}{2})^{-2}$.
Используя свойство отрицательной степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получим: $(\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{2}{1})^2 = 2^2$.
Вычисляем: $2^2 = 4$.
Так как левая часть равна правой ($4 = 4$), исходное равенство верно.
Ответ: равенство верно.