Номер 483, страница 236 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 483, страница 236.

Условие.

483. Найдите логарифмы данных чисел по основанию $a$:

а) 25, $\frac{1}{5}$, $\sqrt{5}$ при $a = 5$;

б) 64, $\frac{1}{8}$, 2 при $a = 8$;

в) 16, $\frac{1}{4}$, $\sqrt{2}$ при $a = 2$;

г) 27, $\frac{1}{9}$, $\sqrt{3}$ при $a = 3$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Логарифм по основанию $a$ числа $b$ — это показатель степени, в которую надо возвести $a$, чтобы получить $b$. Для основания $a=5$ найдем логарифмы для каждого числа.

1. Найдем $log_5 25$. Требуется найти степень $x$, в которую нужно возвести 5, чтобы получить 25. То есть, $5^x = 25$. Так как $5^2 = 25$, то $x=2$. Значит, $log_5 25 = 2$.

2. Найдем $log_5 (1/5)$. Ищем $x$ в уравнении $5^x = 1/5$. Так как $1/5 = 5^{-1}$, то $x=-1$. Значит, $log_5 (1/5) = -1$.

3. Найдем $log_5 \sqrt{5}$. Ищем $x$ в уравнении $5^x = \sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} = 5^{1/2}$, то $x=1/2$. Значит, $log_5 \sqrt{5} = 1/2$.

Ответ: 2; -1; $1/2$.

б)

Для основания $a=8$ найдем логарифмы для каждого числа.

1. Найдем $log_8 64$. Ищем $x$ в уравнении $8^x = 64$. Так как $8^2 = 64$, то $x=2$. Значит, $log_8 64 = 2$.

2. Найдем $log_8 (1/8)$. Ищем $x$ в уравнении $8^x = 1/8$. Так как $1/8 = 8^{-1}$, то $x=-1$. Значит, $log_8 (1/8) = -1$.

3. Найдем $log_8 2$. Ищем $x$ в уравнении $8^x = 2$. Представим 8 как степень 2: $8 = 2^3$. Тогда уравнение примет вид $(2^3)^x = 2^1$, или $2^{3x} = 2^1$. Приравнивая показатели степеней, получаем $3x = 1$, откуда $x = 1/3$. Значит, $log_8 2 = 1/3$.

Ответ: 2; -1; $1/3$.

в)

Для основания $a=2$ найдем логарифмы для каждого числа.

1. Найдем $log_2 16$. Ищем $x$ в уравнении $2^x = 16$. Так как $2^4 = 16$, то $x=4$. Значит, $log_2 16 = 4$.

2. Найдем $log_2 (1/4)$. Ищем $x$ в уравнении $2^x = 1/4$. Так как $1/4 = 1/2^2 = 2^{-2}$, то $x=-2$. Значит, $log_2 (1/4) = -2$.

3. Найдем $log_2 \sqrt{2}$. Ищем $x$ в уравнении $2^x = \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} = 2^{1/2}$, то $x=1/2$. Значит, $log_2 \sqrt{2} = 1/2$.

Ответ: 4; -2; $1/2$.

г)

Для основания $a=3$ найдем логарифмы для каждого числа.

1. Найдем $log_3 27$. Ищем $x$ в уравнении $3^x = 27$. Так как $3^3 = 27$, то $x=3$. Значит, $log_3 27 = 3$.

2. Найдем $log_3 (1/9)$. Ищем $x$ в уравнении $3^x = 1/9$. Так как $1/9 = 1/3^2 = 3^{-2}$, то $x=-2$. Значит, $log_3 (1/9) = -2$.

3. Найдем $log_3 \sqrt{3}$. Ищем $x$ в уравнении $3^x = \sqrt{3}$. Так как $\sqrt{3} = 3^{1/2}$, то $x=1/2$. Значит, $log_3 \sqrt{3} = 1/2$.

Ответ: 3; -2; $1/2$.