Номер 485, страница 236 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 485, страница 236.

Условие.

485. a) $\log_4 x = -3$;

б) $\log_{\sqrt{5}} x = 0$;

в) $\log_{\frac{1}{7}} x = 1$;

г) $\log_{\frac{1}{2}} x = -3$.

Решение 1.

Решение 5.

а)

Дано логарифмическое уравнение $log_4 x = -3$.

Для нахождения неизвестного $x$ воспользуемся основным определением логарифма, согласно которому выражение $log_b a = c$ эквивалентно показательному уравнению $a = b^c$.

В данном случае основание логарифма $b = 4$, значение логарифма $c = -3$, а подлогарифмическое выражение $a = x$.

Подставим эти значения в показательное уравнение:

$x = 4^{-3}$

Теперь вычислим значение степени:

$x = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{4 \cdot 4 \cdot 4} = \frac{1}{64}$

Ответ: $x = \frac{1}{64}$.

б)

Дано логарифмическое уравнение $log_{\sqrt{5}} x = 0$.

По определению логарифма ($a = b^c$), где основание $b = \sqrt{5}$, значение $c = 0$ и аргумент $a = x$, получаем:

$x = (\sqrt{5})^0$

Любое ненулевое число, возведенное в степень 0, равно 1.

Следовательно, $x = 1$.

Ответ: $x = 1$.

в)

Дано логарифмическое уравнение $log_{\frac{1}{7}} x = 1$.

Используя определение логарифма ($a = b^c$), где основание $b = \frac{1}{7}$, значение $c = 1$ и аргумент $a = x$, получаем:

$x = (\frac{1}{7})^1$

Любое число в первой степени равно самому себе.

Следовательно, $x = \frac{1}{7}$.

Ответ: $x = \frac{1}{7}$.

г)

Дано логарифмическое уравнение $log_{\frac{1}{2}} x = -3$.

По определению логарифма ($a = b^c$), где основание $b = \frac{1}{2}$, значение $c = -3$ и аргумент $a = x$, запишем:

$x = (\frac{1}{2})^{-3}$

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, необходимо перевернуть дробь и поменять знак степени на противоположный:

$x = (\frac{2}{1})^3 = 2^3$

Вычислим результат:

$x = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Ответ: $x = 8$.