Номер 482, страница 236 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 482, страница 236.

Условие.

482.-

а) $log_{2\sqrt{2}} 128 = \frac{14}{3}$;

б) $log_{0,2} 0,008 = 3$;

в) $log_{\sqrt{5}} 0,2 = -2$;

г) $log_{0,2} 125 = -3$.

Решение 1.

Решение 5.

а) Чтобы проверить верность равенства $\log_{2\sqrt{2}} 128 = \frac{14}{3}$, воспользуемся определением логарифма: $\log_b a = c$ равносильно $b^c = a$. В данном случае нам нужно проверить, выполняется ли равенство $(2\sqrt{2})^{\frac{14}{3}} = 128$.
Представим основание логарифма $2\sqrt{2}$ и число $128$ в виде степени с основанием 2.
Основание: $2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1+\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$.
Число под логарифмом: $128 = 2^7$.
Теперь подставим основание в виде степени в левую часть проверяемого равенства:
$(2\sqrt{2})^{\frac{14}{3}} = (2^{\frac{3}{2}})^{\frac{14}{3}} = 2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{14}{3}} = 2^7$.
Так как $2^7 = 128$, равенство $(2\sqrt{2})^{\frac{14}{3}} = 128$ является верным. Следовательно, исходное равенство также верно.
Ответ: равенство верное.

б) Проверим равенство $\log_{0,2} 0,008 = 3$. Согласно определению логарифма, это равенство будет верным, если $0,2^3 = 0,008$.
Вычислим левую часть:
$0,2^3 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,04 \cdot 0,2 = 0,008$.
Так как $0,008 = 0,008$, равенство является верным.
Можно также решить, представив десятичные дроби в виде обыкновенных:
$0,2 = \frac{1}{5}$ и $0,008 = \frac{8}{1000} = \frac{1}{125}$.
Проверяемое равенство: $(\frac{1}{5})^3 = \frac{1}{125}$.
$(\frac{1}{5})^3 = \frac{1^3}{5^3} = \frac{1}{125}$.
Равенство подтвердилось.
Ответ: равенство верное.

в) Проверим равенство $\log_{\sqrt{5}} 0,2 = -2$. По определению логарифма, это означает, что $(\sqrt{5})^{-2} = 0,2$.
Преобразуем левую часть равенства:
$(\sqrt{5})^{-2} = \frac{1}{(\sqrt{5})^2} = \frac{1}{5}$.
Теперь преобразуем правую часть равенства:
$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Поскольку левая и правая части равны ($\frac{1}{5} = \frac{1}{5}$), исходное равенство является верным.
Ответ: равенство верное.

г) Проверим равенство $\log_{0,2} 125 = -3$. Используя определение логарифма, мы должны проверить, верно ли, что $(0,2)^{-3} = 125$.
Представим основание $0,2$ в виде обыкновенной дроби: $0,2 = \frac{1}{5}$.
Теперь вычислим левую часть равенства:
$(0,2)^{-3} = (\frac{1}{5})^{-3} = (\frac{5}{1})^3 = 5^3$.
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$.
Левая часть равна $125$, что совпадает с правой частью. Таким образом, равенство является верным.
Ответ: равенство верное.