Номер 475, страница 232 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 475, страница 232.

Условие.

475. Решите графически неравенство:

a) $2^x \le 3 - x$;

б) $(\frac{1}{3})^x \le 2x + 5$;

в) $(\frac{1}{4})^x \ge 2x + 1$;

г) $3^x \ge 4 - x$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $2^x \le 3 - x$

Чтобы решить данное неравенство графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = 2^x$ и $y = 3 - x$.

1. График функции $y = 2^x$ — это показательная функция. Так как основание $2 > 1$, функция является возрастающей. График проходит через точки, например, $(-1, \frac{1}{2})$, $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$.

2. График функции $y = 3 - x$ — это линейная функция, прямая. Для построения достаточно двух точек, например, $(0, 3)$ и $(3, 0)$.

Найдем точку пересечения графиков. Подбором легко найти, что при $x=1$ значения функций совпадают: $y = 2^1 = 2$ и $y = 3 - 1 = 2$. Таким образом, графики пересекаются в точке $(1, 2)$.

Неравенство $2^x \le 3 - x$ будет верным для тех значений $x$, при которых график функции $y = 2^x$ находится не выше (то есть ниже или на том же уровне) графика функции $y = 3 - x$. Глядя на построенные графики, мы видим, что это условие выполняется для всех $x$ слева от точки пересечения, включая саму точку.

Следовательно, решением неравенства является промежуток $x \le 1$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1]$.

---

б) $(\frac{1}{3})^x \le 2x + 5$

Для графического решения построим графики функций $y = (\frac{1}{3})^x$ и $y = 2x + 5$.

1. $y = (\frac{1}{3})^x$ — это показательная функция. Основание $0 < \frac{1}{3} < 1$, поэтому функция является убывающей. График проходит через точки $(-1, 3)$, $(0, 1)$, $(1, \frac{1}{3})$.

2. $y = 2x + 5$ — это линейная функция, её график — возрастающая прямая. Для построения возьмем точки, например, $(-2.5, 0)$ и $(0, 5)$.

Найдем точку пересечения. При $x=-1$ имеем: $y = (\frac{1}{3})^{-1} = 3$ и $y = 2(-1) + 5 = -2 + 5 = 3$. Значит, графики пересекаются в точке $(-1, 3)$. Поскольку показательная функция в данном случае убывает, а линейная возрастает, точка пересечения единственная.

Решением неравенства $(\frac{1}{3})^x \le 2x + 5$ будут те значения $x$, для которых график показательной функции $y = (\frac{1}{3})^x$ лежит не выше графика прямой $y = 2x + 5$. Это происходит для всех $x$ справа от точки пересечения, включая саму точку.

Таким образом, решение неравенства: $x \ge -1$.

Ответ: $x \in [-1, +\infty)$.

---

в) $(\frac{1}{4})^x \ge 2x + 1$

Построим в одной системе координат графики функций $y = (\frac{1}{4})^x$ и $y = 2x + 1$.

1. $y = (\frac{1}{4})^x$ — убывающая показательная функция, так как ее основание $0 < \frac{1}{4} < 1$. График проходит через точки $(-1, 4)$, $(0, 1)$, $(1, \frac{1}{4})$.

2. $y = 2x + 1$ — возрастающая линейная функция (прямая). График проходит через точки $(-0.5, 0)$ и $(0, 1)$.

Очевидно, что графики пересекаются в точке, где $x=0$: $y = (\frac{1}{4})^0 = 1$ и $y = 2(0) + 1 = 1$. Точка пересечения — $(0, 1)$.

Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график $y = (\frac{1}{4})^x$ находится не ниже (то есть выше или на том же уровне) графика $y = 2x + 1$. Из графиков видно, что это выполняется для всех $x$ слева от точки пересечения и в самой точке.

Следовательно, решением является $x \le 0$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0]$.

---

г) $3^x \ge 4 - x$

Построим и сравним графики функций $y = 3^x$ и $y = 4 - x$.

1. $y = 3^x$ — возрастающая показательная функция. Ключевые точки для построения: $(-1, \frac{1}{3})$, $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(2, 9)$.

2. $y = 4 - x$ — убывающая линейная функция (прямая). Для построения используем точки $(0, 4)$ и $(4, 0)$.

Найдем точку пересечения графиков. Методом подбора находим, что при $x=1$ значения функций равны: $y = 3^1 = 3$ и $y = 4 - 1 = 3$. Точка пересечения — $(1, 3)$. Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, эта точка пересечения единственная.

Неравенство $3^x \ge 4 - x$ выполняется для тех $x$, при которых график $y = 3^x$ лежит не ниже графика $y = 4 - x$. Это справедливо для всех $x$ справа от точки пересечения, включая саму точку.

Значит, решением неравенства является $x \ge 1$.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.