Номер 470, страница 232 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 470, страница 232.

Условие.

470. а) $3^x + 3^{3-x} = 12$;

б) $4^{\sqrt{x-2}} + 16 = 10 \cdot 2^{\sqrt{x-2}}$;

в) $\left(\frac{1}{5}\right)^{1-x} - \left(\frac{1}{5}\right)^x = 4,96$;

г) $4^x - 0,25^{x-2} = 15$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

a) $3^x + 3^{3-x} = 12$

Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$3^x + \frac{3^3}{3^x} = 12$

$3^x + \frac{27}{3^x} = 12$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $y > 0$.

Подставим $y$ в уравнение:

$y + \frac{27}{y} = 12$

Умножим обе части уравнения на $y$ (так как $y \neq 0$):

$y^2 + 27 = 12y$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$y^2 - 12y + 27 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 12, а произведение равно 27. Корни $y_1 = 3$ и $y_2 = 9$.

Оба корня положительны, поэтому оба подходят по условию $y > 0$.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1) Если $y = 3$, то $3^x = 3$. Отсюда $3^x = 3^1$, следовательно $x_1 = 1$.

2) Если $y = 9$, то $3^x = 9$. Отсюда $3^x = 3^2$, следовательно $x_2 = 2$.

Ответ: $1; 2$.

б) $4^{\sqrt{x-2}} + 16 = 10 \cdot 2^{\sqrt{x-2}}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.

Представим $4$ как $2^2$:

$(2^2)^{\sqrt{x-2}} + 16 = 10 \cdot 2^{\sqrt{x-2}}$

$(2^{\sqrt{x-2}})^2 + 16 = 10 \cdot 2^{\sqrt{x-2}}$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 2^{\sqrt{x-2}}$. Поскольку $\sqrt{x-2} \ge 0$, то $y = 2^{\sqrt{x-2}} \ge 2^0 = 1$.

Подставим $y$ в уравнение:

$y^2 + 16 = 10y$

Перенесем все члены в левую часть:

$y^2 - 10y + 16 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а произведение равно 16. Корни $y_1 = 2$ и $y_2 = 8$.

Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 1$.

Выполним обратную замену:

1) Если $y = 2$, то $2^{\sqrt{x-2}} = 2$. Отсюда $2^{\sqrt{x-2}} = 2^1$, следовательно $\sqrt{x-2} = 1$. Возводим обе части в квадрат: $x-2 = 1$, откуда $x_1 = 3$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge 2$).

2) Если $y = 8$, то $2^{\sqrt{x-2}} = 8$. Отсюда $2^{\sqrt{x-2}} = 2^3$, следовательно $\sqrt{x-2} = 3$. Возводим обе части в квадрат: $x-2 = 9$, откуда $x_2 = 11$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($11 \ge 2$).

Ответ: $3; 11$.

в) $(\frac{1}{5})^{1-x} - (\frac{1}{5})^x = 4,96$

Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$\frac{(\frac{1}{5})^1}{(\frac{1}{5})^x} - (\frac{1}{5})^x = 4,96$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = (\frac{1}{5})^x$. Так как $y$ - показательная функция, $y > 0$.

Подставим $y$ в уравнение:

$\frac{1/5}{y} - y = 4,96$

Умножим обе части на $y$ (так как $y \neq 0$):

$\frac{1}{5} - y^2 = 4,96y$

Перенесем все члены в правую часть и запишем в виде стандартного квадратного уравнения:

$y^2 + 4,96y - \frac{1}{5} = 0$

$y^2 + 4,96y - 0,2 = 0$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим уравнение на 100:

$100y^2 + 496y - 20 = 0$

Разделим уравнение на 4 для упрощения:

$25y^2 + 124y - 5 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 124^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-5) = 15376 + 500 = 15876$. $\sqrt{D} = \sqrt{15876} = 126$.

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-124 \pm 126}{2 \cdot 25} = \frac{-124 \pm 126}{50}$.

$y_1 = \frac{-124 - 126}{50} = \frac{-250}{50} = -5$. Этот корень не подходит, так как $y > 0$.

$y_2 = \frac{-124 + 126}{50} = \frac{2}{50} = \frac{1}{25}$. Этот корень подходит.

Выполним обратную замену:

$(\frac{1}{5})^x = \frac{1}{25} \implies (\frac{1}{5})^x = (\frac{1}{5})^2 \implies x = 2$.

Ответ: $2$.

г) $4^x - 0,25^{x-2} = 15$

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,25 = \frac{1}{4} = 4^{-1}$.

Подставим это в уравнение:

$4^x - (4^{-1})^{x-2} = 15$

Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^{m+n}=a^m \cdot a^n$:

$4^x - 4^{-1 \cdot (x-2)} = 15$

$4^x - 4^{-x+2} = 15$

$4^x - 4^{-x} \cdot 4^2 = 15$

$4^x - \frac{16}{4^x} = 15$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 4^x$. Так как $y$ - показательная функция, $y > 0$.

Подставим $y$ в уравнение:

$y - \frac{16}{y} = 15$

Умножим обе части на $y$ (так как $y \neq 0$):

$y^2 - 16 = 15y$

Перенесем все члены в левую часть:

$y^2 - 15y - 16 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 15, а произведение равно -16. Корни $y_1 = 16$ и $y_2 = -1$.

Корень $y_2 = -1$ не подходит, так как $y > 0$.

Выполним обратную замену для $y_1 = 16$:

$4^x = 16 \implies 4^x = 4^2 \implies x = 2$.

Ответ: $2$.